パラメータイデアルの重複度と CM 性

定理 5.2（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、 $d = \dim A$ 、 $x_1, \ldots, x_d$ をパラメータ系、 $\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_d)$ とする。

$e(\mathfrak{q}) \le \ell_A(A/\mathfrak{q})$ である。
等号 $e(\mathfrak{q}) = \ell_A(A/\mathfrak{q})$ が成り立つことと、 $\varphi_{\mathfrak{q}}$ が同型であることは同値である。
等号 $e(\mathfrak{q}) = \ell_A(A/\mathfrak{q})$ が成り立つことと、 $x_1, \ldots, x_d$ が正則列であること、 $A$ が Cohen–Macaulay であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 131 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さ
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- Krull 次元・高さ・余高さ定義 2.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- δ(A) とパラメータ系定義 5.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
重複度定義 5.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
正則列と随伴次数環✓補題 5.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →

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正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

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