数学 › 可換環論 › 次数環と Hilbert–Samuel 多項式

多項式の符号と大小の比較

補題 3.3（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§3）・ ✓公理まで証明済み

$P \in \mathbb{Q}[X]$ が $0$ でなく、最高次の係数が $c$ なら、ある $N$ があって、 $N$ 以上のすべての整数 $n$ で $P(n)$ は $c$ と同じ符号をもつ。とくに、大きい $n$ で $P(n) \ge 0$ なら $c > 0$ である。
$P, Q \in \mathbb{Q}[X]$ 、 $P \ne 0$ で、大きい $n$ で $0 \le P(n) \le Q(n)$ なら、 $Q \ne 0$ かつ $\deg P \le \deg Q$ である。
$P, Q, R \in \mathbb{Q}[X]$ について、大きい $n$ で $P(n) \le Q(n) \le R(n)$ が成り立ち、 $P$ と $R$ は $0$ でなく次数と最高次の係数が等しいとする。このとき $Q$ も同じ次数と最高次の係数をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 6 件

パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
重複度の基本性質✓命題 5.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式