飽和鎖・鎖状環

$A$ を環とする。

1. 素イデアルの鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ が飽和であるとは、各 $i$ について $\mathfrak{p}_{i-1} \subsetneq \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}_i$ となる素イデアル $\mathfrak{q}$ が存在しないことをいう。飽和鎖で $\mathfrak{p}_0$ が極小素イデアル、$\mathfrak{p}_r$ が極大イデアルであるものを極大鎖という。
2. $A$ が鎖状環であるとは、$\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'$ を満たす任意の素イデアルについて、$\mathfrak{p}$ から $\mathfrak{p}'$ への飽和鎖（$\mathfrak{p}_0 = \mathfrak{p}$、$\mathfrak{p}_r = \mathfrak{p}'$ となる飽和鎖）の長さがすべて有限で、互いに等しいことをいう。