下降定理

定理 5.4（「整拡大」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A \subseteq B$ を整拡大とし、 $A$ は整閉整域、 $B$ は整域であるとする。 $\mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_n$ を $A$ の素イデアルの列、 $\mathfrak{q}_1 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_m$ （ $1 \le m < n$ ）を $B$ の素イデアルの列で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$ （ $1 \le i \le m$ ）を満たすものとする。このとき $B$ の素イデアルの列 $\mathfrak{q}_m \supseteq \mathfrak{q}_{m+1} \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_n$ で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$ （ $m < i \le n$ ）を満たすものが存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大
    行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
    多項式環定義 6.1・環と体の基礎
  - 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大（上で展開済み）
根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

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整拡大と次元✓命題 3.1・Krull 次元と単項イデアル定理

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