次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る

0. この記事の要点

方程式で表された図形に対して、「何次元の図形か」「とがった点や自分自身と交わる点があるか」を、代数の言葉で調べる方法を作る章です。たとえば曲線 $y^2 = x^3$ は原点でとがっていて、見た目の 1 次元とは違う様子をしています。この記事では、そうした点を見つける判定を、座標環から作る「微分の層」という道具にまとめます。読み終えると、非特異かどうかが一つの層の性質として言い表せることと、次元・特異点・正規化の関係が分かります。

• 代数閉体 $k$ 上の多様体 $X$ の次元は関数体の超越次数 $\operatorname{trdeg}_k K(X)$ に等しく、すべての閉点で局所環の次元が $\dim X$ になります。既約閉集合 $Z$ について $\dim Z + \operatorname{codim}(Z, X) = \dim X$ で、積の次元は和です。
• 整スキームには正規化がただ一つあり、多様体の正規化は有限射です。正規な Noether 整スキームでは、余次元 1 の点の局所環は離散付値環で、余次元 2 以上の閉集合の外で定義された正則関数は全体に延びます。
• 射 $X \to Y$ の微分の層 $\Omega_{X/Y}$ は、対角のイデアル層 $\mathcal{I}$ から $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ として作られ、アフィン開集合の上では Kähler 微分加群に伴う層です。射の合成と閉部分スキームについて、二つの完全列が成り立ちます。
• 多様体 $X$ が非特異であることと、$\Omega_{X/k}$ が階数 $\dim X$ の局所自由層であることは同値です。閉点での Zariski 余接空間は $\Omega_{X/k}$ のファイバーで、特異点の全体は真の閉集合です。
• 射影空間では Euler 完全列 $0 \to \Omega \to \mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)} \to \mathcal{O} \to 0$ が成り立ち、標準層は $\omega \cong \mathcal{O}(-n-1)$ です。
• 非特異多様体 $X$ の非特異な部分多様体 $Y$ では、余法層 $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ が局所自由で $\omega_Y \cong \omega_X|_Y \otimes \bigwedge^r \mathcal{N}_{Y/X}$（随伴公式）です。非特異曲線の局所環は離散付値環で、非特異曲線から射影多様体への有理写像は射に延びます。

この記事で使う事前知識

• 正則局所環: 極大イデアルを生成するのに必要な元の最小個数が、環の次元とちょうど一致する局所環。→ 正則局所環
• 離散付値環: ある元 $\pi$ を固定すると、0 でない元がすべて「$\pi$ の冪×単元」の形に書ける、体でない局所整域。→ 離散付値環
• 整閉整域: 自分の商体の元で、自分の上で整なものは自分自身に入っている整域。→ 整閉整域
• Kähler 微分加群: 環の元の「微小な変化」$db$ を形式的に扱う加群で、導分を普遍的に与えるもの。→ Kähler 微分加群
• 局所自由層: 各点の近くでは自由加群（$\mathcal{O}$ の直和）に見える層。→ 局所自由層

1. 動機

多様体の「局所的な形」について、三つの量を測ります。

一つ目は次元です。可換環論では Krull 次元を素イデアルの鎖で定義し、体上の有限生成整域では商体の超越次数に等しいことを示しました。幾何の側では、既約閉集合の鎖の長さが次元で、「独立に動かせるパラメータの個数」が超越次数です。両者が一致することが、多様体の次元論の出発点です。

二つ目は特異点です。平面曲線 $y^2 = x^3$ の原点では、曲線は 1 次元なのに接空間が 2 次元あります。接空間の次元が多様体の次元と一致する点が非特異点で、局所環の言葉では正則局所環です。接空間を点ごとに考える代わりに、すべての点の余接空間を束ねた層 $\Omega_{X/k}$ を考えると、非特異性は「$\Omega_{X/k}$ が局所自由である」という一つの条件になります。これは微分幾何で余接束がベクトル束であることの代数版です。

三つ目は正規性で、非特異性より弱い条件です。正規な多様体では余次元 1 の所に特異点がなく、余次元 2 以上の集合を越えて関数が延びます（Hartogs の定理の代数版）。どんな多様体も、有限射で正規な多様体に取り替えられます（正規化）。曲線では正規と非特異が一致するので、曲線の特異点は正規化で解消されます。

微分の層の最高次の外冪が標準層 $\omega_X$ です。射影空間では $\omega \cong \mathcal{O}(-n-1)$、その中の $d$ 次の非特異超曲面では $\omega \cong \mathcal{O}(d - n - 1)$ となり、次数 $d$ が $n + 1$ より小さいか、等しいか、大きいかで多様体の性格が分かれます。代数幾何 II の Serre 双対と Riemann–Roch の定理は標準層の言葉で述べられます。

この記事では、局所的な主張を可換環論の定理（次元論・正規化の有限性・正則局所環・Kähler 微分・Jacobi 判定法）に帰着させます。以下、とくに断らないかぎり $k$ は代数閉体で、多様体は $k$ 上の整・分離的・有限型のスキームです（分離射・固有射と付値判定法 の定義）。

2. 次元と余次元

定義 2.1（スキームの次元・余次元）↗

$X$ をスキーム（より一般に位相空間）とする。

1. $X$ の次元 $\dim X$ とは、既約閉集合の真の増大列 $Z_0 \subsetneq Z_1 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_n$ の長さ $n$ の上限をいう。
2. 既約閉集合 $Z \subseteq X$ の余次元 $\operatorname{codim}(Z, X)$ とは、$Z = Z_0$ から始まる既約閉集合の真の増大列 $Z_0 \subsetneq Z_1 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_n$ の長さ $n$ の上限をいう。点 $x$ の余次元は $\{x\}$ の閉包の余次元とする。

補題 2.2（次元と局所環）✓

$X$ をスキームとする。

1. 既約閉集合 $Z$ の生成点を $z$ とすると、$\operatorname{codim}(Z, X) = \dim \mathcal{O}_{X,z}$ である。
2. $\dim X = \sup_{x \in X} \dim \mathcal{O}_{X,x}$ である。とくに開被覆 $X = \bigcup_i U_i$ について $\dim X = \sup_i \dim U_i$ で、環 $A$ について $\dim \operatorname{Spec} A = \dim A$ である。

証明（補題 2.2）

(1) 既約閉集合は生成点とちょうど対応します（命題 4.3［アフィンスキームとスキーム］）。既約閉集合 $W, W'$ の生成点を $w, w'$ とすると、$W \subseteq W'$ は $w$ が $w'$ の特殊化であることと同値で、$W = W'$ は $w = w'$ と同値です。したがって $Z$ から始まる増大列は、$z = z_0, z_1, \ldots, z_n$ で各 $z_{i+1}$ が $z_i$ へ真に特殊化する点の列に対応します。$z$ のアフィン開近傍 $U = \operatorname{Spec} A$ を取り、$z$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とします。$z$ へ特殊化する点はすべて $U$ に属し（同 3）、$U$ の中では $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルに対応します。よって増大列は $\mathfrak{p}$ で終わる素イデアルの鎖 $\mathfrak{p}_n \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_0 = \mathfrak{p}$ に対応し、その長さの上限は $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = \dim A_{\mathfrak{p}} = \dim \mathcal{O}_{X,z}$ です（命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の 1）。

(2) 長さ $n$ の増大列 $Z_0 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_n$ があれば $\operatorname{codim}(Z_0, X) \ge n$ で、逆に $Z$ から始まる増大列は $X$ の増大列です。よって $\dim X$ は余次元の上限で、(1) により局所環の次元の上限です。局所環は開集合に制限しても変わらないので、開被覆についての主張が従います。$X = \operatorname{Spec} A$ のとき、$\sup_{\mathfrak{p}} \operatorname{ht}\mathfrak{p} = \dim A$ です（命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の 4）。

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体上有限型のスキームの閉点について、次を確認しておきます。

補題 2.3（体上有限型のスキームの閉点）✓

$k$ を体、$X$ を $k$ 上局所有限型のスキームとする。

1. 点 $x \in X$ が閉点であることと、$\kappa(x)$ が $k$ 上有限次であることは同値である。$k$ が代数閉体なら、閉点は $\kappa(x) = k$ となる点である。
2. $X$ の空でない局所閉集合（開集合と閉集合の交わり）は、$X$ の閉点を含む。とくに、どの点 $y$ も閉点へ特殊化し、閉点をすべて含む開集合は $X$ 全体である。

証明（補題 2.3）

(1) $x$ が閉点なら、アフィン開近傍 $\operatorname{Spec} A$ の中でも閉で、極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対応します。$A$ は有限生成 $k$ 代数なので $\kappa(x) = A/\mathfrak{m}$ は $k$ 上有限次です（定理 4.1［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］）。逆に $\kappa(x)$ が $k$ 上有限次であるとします。$x$ を含む任意のアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ の中で、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とすると、$A/\mathfrak{p}$ は $\kappa(x)$ の部分環で $k$ 上整な整域なので体です（命題 4.1［整拡大］）。よって $\mathfrak{p}$ は極大で、$\{x\}$ は $U$ の閉集合です。すべてのアフィン開集合 $U$ について $\{x\} \cap U$ が $U$ の閉集合（空集合か $\{x\}$）なので、$\{x\}$ は $X$ の閉集合です。$k$ が代数閉体なら、有限次拡大は $k$ 自身だけです。

(2) $T = Z \cap W$（$Z$ は閉、$W$ は開）を空でないとします。$Z$ に被約な閉部分スキームの構造を入れると（定理 4.3［スキームの性質と射］）、$Z$ は $k$ 上局所有限型で、$T$ は $Z$ の空でない開集合です。$T$ に含まれる $Z$ の空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ を取り、$A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ を取ると、$A/\mathfrak{m}$ は $k$ 上有限次なので、(1) によりこの点は $Z$ の閉点、したがって $X$ の閉点です。$y \in X$ について $\{y\}$ の閉包は空でない閉集合なので閉点を含みます。開集合 $W$ が閉点をすべて含めば、閉集合 $X \setminus W$ は閉点を含まないので空です。

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整スキーム $X$ の生成点を $\eta$ とすると、$K(X) = \mathcal{O}_{X,\eta}$ が関数体で、空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ について $K(X) = \operatorname{Frac} A$ です（命題 2.2［スキームの性質と射］）。

定理 2.4（多様体の次元）✓

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の多様体とする。

1. $\dim X = \operatorname{trdeg}_k K(X)$ で、有限である。空でない開集合 $U \subseteq X$ について $\dim U = \dim X$ である。
2. すべての閉点 $x \in X$ で $\dim \mathcal{O}_{X,x} = \dim X$ である。
3. $Z \subseteq X$ を既約閉集合とし、被約な閉部分スキームの構造を入れる。$Z$ は多様体で、$\dim Z + \operatorname{codim}(Z, X) = \dim X$ である。
4. $Y$ も $k$ 上の多様体とすると、$X \times_k Y$ は多様体で、$\dim(X \times_k Y) = \dim X + \dim Y$ である。

証明（定理 2.4）

(1) 空でないアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について、$A$ は有限生成 $k$ 代数である整域で $\operatorname{Frac} A = K(X)$ なので、$\dim U = \dim A = \operatorname{trdeg}_k K(X)$ です（補題 2.2 と 定理 7.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ の 2）。$X$ も、その空でない開集合も、このようなアフィン開集合で覆われるので、補題 2.2 の 2 により次元は $\operatorname{trdeg}_k K(X)$ です。

(2) 閉点 $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} A$ を取ると、$x$ は極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対応し、$\dim \mathcal{O}_{X,x} = \operatorname{ht}\mathfrak{m} = \dim A$ です（定理 7.4［Krull 次元と単項イデアル定理］ の 2）。(1) により $\dim A = \dim X$ です。

(3) $Z$ は既約で被約なので整です。閉はめ込みは分離的かつ有限型なので（命題 6.2［分離射・固有射と付値判定法］ の 1）、$Z$ は $k$ 上分離的かつ有限型で、多様体です。$Z$ の生成点 $z$ のアフィン開近傍 $U = \operatorname{Spec} A$ を取り、$z$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とします。$Z \cap U = \operatorname{Spec} A/\mathfrak{p}$ は $Z$ の空でない開集合なので、(1) により $\dim Z = \dim A/\mathfrak{p}$ です。補題 2.2 の 1 により $\operatorname{codim}(Z, X) = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ で、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} = \dim A = \dim X$ です（定理 7.4［Krull 次元と単項イデアル定理］ の 2）。

(4) $X \times_k Y$ は $k$ 上分離的かつ有限型です（命題 6.2［分離射・固有射と付値判定法］ の 3、2 と 命題 6.1［スキームの性質と射］）。$X$、$Y$ の空でないアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$、$V = \operatorname{Spec} B$ について、$U \times_k V = \operatorname{Spec}(A \otimes_k B)$ は $X \times_k Y$ の開集合で、$A \otimes_k B$ は整域です（補題 6.1［アフィン代数多様体と座標環］）。このような開集合は $X \times_k Y$ を覆い、どの二つも交わります。$(U \cap U') \times_k (V \cap V')$ は、空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A'' \subseteq U \cap U'$、$\operatorname{Spec} B'' \subseteq V \cap V'$ について $\operatorname{Spec}(A'' \otimes_k B'')$ を含み、$A'' \otimes_k B'' \ne 0$ だからです。既約な開集合で覆われ、そのどの二つも交わる空間は既約なので、$X \times_k Y$ は既約で、局所的に被約なので整です。

次元を計算します。Noether の正規化定理（定理 7.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ の 1）により、代数的に独立な $y_1, \ldots, y_d \in A$ と $z_1, \ldots, z_e \in B$ で、$A$ が $k[y] = k[y_1, \ldots, y_d]$ 上有限、$B$ が $k[z]$ 上有限となるものがあり、$d = \dim X$、$e = \dim Y$ です。$k[y] \otimes_k k[z]$ は $d + e$ 変数の多項式環で、体上のテンソル積は単射を保つので $k[y] \otimes_k k[z] \to A \otimes_k B$ は単射です。$A$ の $k[y]$ 上の生成元 $a_i$ と $B$ の $k[z]$ 上の生成元 $b_j$ について、$a_i \otimes b_j$ は $A \otimes_k B$ を $k[y] \otimes_k k[z]$ 加群として生成します。同じ定理により $\dim(A \otimes_k B) = d + e$ で、(1) から $\dim(X \times_k Y) = d + e$ です。

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(2) と (3) は「多様体は等次元で鎖状である」という主張です。体上有限型でなければ成り立ちません。離散付値環 $R$ 上の $\operatorname{Spec} R[x]$ には、高さ 1 の極大イデアル（$tx - 1$ で生成されるもの。$t$ は素元）と高さ 2 の極大イデアルがあります。

次元 1 の多様体を曲線、次元 2 の多様体を曲面といいます。

3. 接空間と正則性

定義 3.1（Zariski 接空間・正則スキーム・非特異多様体）↗

$X$ を局所 Noether スキーム、$x \in X$ とする。

1. $\kappa(x)$ ベクトル空間 $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ を $x$ での Zariski 余接空間、その双対 $T_x X = \operatorname{Hom}_{\kappa(x)}(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2, \kappa(x))$ を Zariski 接空間という。
2. $\mathcal{O}_{X,x}$ が正則局所環（定義 6.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）であるとき、$X$ は $x$ で正則であるという。すべての点で正則なスキームを正則スキームという。
3. 代数閉体上の多様体が正則スキームであるとき非特異であるといい、正則でない点を特異点という。

Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ では $\dim_{A/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \ge \dim A$ です。$\mathfrak{m}$ は $\dim \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 個の元で生成され（系 3.6［加群・完全列・中山の補題］）、その個数は $\operatorname{ht}\mathfrak{m} = \dim A$ 以上だからです（定理 4.3［Krull 次元と単項イデアル定理］）。等号が成り立つのが正則局所環で、「接空間の次元が空間の次元に一致する」点が正則点です。正則局所環の局所化は正則なので（系 7.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、$x$ で正則なら $x$ へ特殊化するすべての点で正則です。したがって体上有限型のスキームでは、閉点で正則なら正則スキームです（補題 2.3 の 2）。

例 3.2（尖点と結節点の接空間）

$k$ を標数が $2$ でも $3$ でもない代数閉体とします。尖点 3 次曲線 $C_1 = \operatorname{Spec} k[x, y]/(y^2 - x^3)$ と結節点 3 次曲線 $C_2 = \operatorname{Spec} k[x, y]/(y^2 - x^2(x + 1))$ は、どちらも次元 $1$ の多様体です。原点 $\mathfrak{m} = (x, y)$ では、定義式が $(x, y)^2$ に属するので、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $x, y$ の像を基底とする $2$ 次元空間です。$2 > 1 = \dim C_i$ なので、原点は特異点です。

ほかの閉点 $(a, b) \ne (0, 0)$ は正則です。Jacobi 判定法（定理 9.4［Kähler 微分と滑らかさの入口］）により、$f = 0$ で定まる平面曲線の閉点が正則であることは、そこで $(\partial f/\partial x, \partial f/\partial y) \ne (0, 0)$ であることと同値です。$C_1$ では $(-3x^2, 2y)$ で、これが消えるのは原点だけです。$C_2$ では $(-3x^2 - 2x, 2y)$ で、$y = 0$ かつ $x(3x + 2) = 0$ となる曲線上の点は原点だけです（$x = -2/3$、$y = 0$ は $x^2(x + 1) = 4/27 \ne 0$ なので曲線上にない）。

二つの特異点の違いは接空間の次元には現れず、次の節の正規化で見えます。

4. 正規スキームと正規化

定義 4.1（正規スキーム）↗

スキーム $X$ が正規であるとは、すべての点 $x$ で局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ が整閉整域であることをいう。

整スキーム $X$ が正規であることは、すべての空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ について $A$ が整閉整域であることと同値です（命題 3.2［整拡大］）。正則局所環は一意分解整域で（定理 8.5［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）、一意分解整域は整閉なので（命題 3.3［整拡大］）、正則スキームは正規です。逆は成り立ちません（例 4.5）。

スキームの射 $f\colon Z \to X$ が支配的であるとは、像が稠密であることでした。

次の定理のねらいは、「特異な図形を、正規な図形で最も近い形に取り替える」操作がただ一通りに存在することを言うことです。アフィンの場合は座標環を、商体の中での整閉包に取り替えるだけで、証明の後半はそれを貼り合わせる作業です。

定理 4.2（正規化の存在と普遍性）✓

$X$ を整スキームとする。

1. 正規な整スキーム $\widetilde{X}$ と支配的な射 $\nu\colon \widetilde{X} \to X$ で、次の普遍性をもつものが存在する：正規な整スキーム $Z$ からの支配的な射 $f\colon Z \to X$ はすべて、$f = \nu \circ g$ となる射 $g\colon Z \to \widetilde{X}$ をただ一つもつ。$(\widetilde{X}, \nu)$ は同型を除いて一意で、$X$ の正規化という。
2. アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A \subseteq X$ について、$\nu^{-1}(U) = \operatorname{Spec} A'$ である。ここで $A'$ は $K(X)$ における $A$ の整閉包である。とくに $\nu$ はアフィン射で、$K(\widetilde{X}) = K(X)$ である。
3. $X$ が体 $k$ 上有限型の整スキームならば、$\nu$ は有限射である。$X$ が代数閉体上の多様体なら $\widetilde{X}$ も多様体で、$\dim \widetilde{X} = \dim X$ である。

証明（定理 4.2）

$K = K(X)$ とします。

アフィンの場合。 $X = \operatorname{Spec} A$、$A'$ を $K = \operatorname{Frac} A$ における $A$ の整閉包とし、$\nu\colon \operatorname{Spec} A' \to \operatorname{Spec} A$ を包含 $A \subseteq A'$ に対応する射とします。$A'$ は $K$ の部分環で整閉なので（系 2.4［整拡大］ の 3 と 6）、$\operatorname{Spec} A'$ は正規な整スキームです。$\nu$ は整拡大に対応するので全射です（系 4.5［整拡大］）。

普遍性を示します。$f\colon Z \to \operatorname{Spec} A$ を、正規な整スキームからの支配的な射とします。$Z$ の空でないアフィン開集合 $W = \operatorname{Spec} C$ を取ると、$C$ は整閉整域で、$W$ は $Z$ で稠密なので $f|_W$ も支配的です。対応する環準同型を $\varphi\colon A \to C$ とすると、像の閉包は $V(\ker\varphi)$ なので（補題 4.1［分離射・固有射と付値判定法］）、$V(\ker\varphi) = \operatorname{Spec} A$ で、$\ker\varphi$ は冪零元からなり、$A$ は整域なので $\varphi$ は単射です。したがって $\varphi$ は体の準同型 $\varphi_K\colon K \to \operatorname{Frac} C$ に延び、$A'$ の元は $A$ 上整なので、その像は $C$ 上整で、$C$ が整閉なので $C$ に入ります。こうして $\varphi' = \varphi_K|_{A'}\colon A' \to C$ が得られ、$g_W = \operatorname{Spec}\varphi'\colon W \to \operatorname{Spec} A'$ は $\nu \circ g_W = f|_W$ を満たします。$\varphi$ を延長する準同型 $A' \to C$ は、$a/b \in A'$（$a, b \in A$、$b \ne 0$）の像が $\varphi(a)/\varphi(b)$ に決まるので、$\varphi'$ だけです。この一意性により、$g_W$ はアフィン開集合の交わりの上で一致し、貼り合わさって $g\colon Z \to \operatorname{Spec} A'$ を与えます（定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］）。$g$ の一意性も同じ理由です。

開集合への制限。 $(\widetilde{U}, \nu_U)$ が整スキーム $U$ の正規化（1 の普遍性をもつもの）で、$V \subseteq U$ が空でない開集合なら、$\nu_U^{-1}(V) \to V$ は $V$ の正規化です。実際、$\nu_U^{-1}(V)$ は正規な整スキームの空でない開部分スキームなので正規な整スキームです。正規な整スキーム $Z$ からの支配的な射 $f\colon Z \to V$ は、$V$ が $U$ で稠密なので $U$ への射として支配的で、$g\colon Z \to \widetilde{U}$ をただ一つ経由し、$\nu_U \circ g = f$ から $g$ の像は $\nu_U^{-1}(V)$ に入ります。

貼り合わせ。 $X$ のアフィン開被覆 $\{U_i\}$ を取り、各 $U_i$ の正規化 $\nu_i\colon \widetilde{U_i} \to U_i$ をアフィンの場合により作ります。$X$ は既約なので $U_i \cap U_j$ は空でなく、$\nu_i^{-1}(U_i \cap U_j)$ と $\nu_j^{-1}(U_i \cap U_j)$ はどちらも $U_i \cap U_j$ の正規化です。普遍性から、$U_i \cap U_j$ 上の同型 $\varphi_{ij}\colon \nu_i^{-1}(U_i \cap U_j) \to \nu_j^{-1}(U_i \cap U_j)$ がただ一つあり、一意性から $\varphi_{jk} \circ \varphi_{ij} = \varphi_{ik}$ が 3 重の交わりの上で成り立ちます。貼り合わせて、スキーム $\widetilde{X}$ と射 $\nu\colon \widetilde{X} \to X$ で $\nu^{-1}(U_i) \cong \widetilde{U_i}$ となるものを得ます（定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］）。$\widetilde{X}$ は、どの二つも交わる整な開集合 $\widetilde{U_i}$ で覆われるので整で、正規です。$\nu$ は全射です。

普遍性。 $f\colon Z \to X$ を正規な整スキームからの支配的な射とします。$f^{-1}(U_i)$ は $Z$ の開集合で、$f(Z)$ が稠密なので空でなく、正規な整スキームです。$f(f^{-1}(U_i)) = f(Z) \cap U_i$ は $U_i$ で稠密なので、$f^{-1}(U_i) \to U_i$ は支配的で、$g_i\colon f^{-1}(U_i) \to \widetilde{U_i}$ をただ一つ経由します。$U_i \cap U_j$ の上での一意性から $g_i$ と $g_j$ は貼り合わさり、$g\colon Z \to \widetilde{X}$ を与えます。$g$ の一意性も各 $U_i$ の上の一意性から従います。普遍性をもつ対象は同型を除いて一意です。

(2) 任意のアフィン開集合 $U$ について、「開集合への制限」により $\nu^{-1}(U) \to U$ は $U$ の正規化で、アフィンの場合の構成と一意性から $\operatorname{Spec} A'$ と $U$ 上同型です。$\operatorname{Frac} A' = K$ です。

(3) $X$ が体 $k$ 上有限型なら、$A$ は有限生成 $k$ 代数である整域で、$A'$ は $A$ 上有限です（定理 6.7［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］）。よって $\nu$ は有限射です。有限射は分離的かつ有限型なので（命題 6.2［分離射・固有射と付値判定法］ の 6）、$X$ が多様体なら $\widetilde{X}$ は $k$ 上分離的・有限型な整スキームで、多様体です。関数体が等しいので次元も等しくなります（定理 2.4 の 1）。

∎

例 4.3（尖点と結節点の正規化）

例 3.2 の二つの曲線を正規化します。

（尖点）$A_1 = k[x, y]/(y^2 - x^3)$ は、$x \mapsto t^2$、$y \mapsto t^3$ により $k[t]$ の部分環 $k[t^2, t^3]$ と同型です（アフィン代数多様体と座標環 の尖点 3 次曲線の例）。$t = y/x \in \operatorname{Frac} A_1$ は $t^2 - x = 0$ を満たすので $A_1$ 上整で、$\operatorname{Frac} A_1 = k(t)$、$k[t]$ は一意分解整域なので整閉です（命題 3.3［整拡大］）。よって正規化は $k[t]$ で、$\nu\colon \mathbb{A}^1_k \to C_1$、$t \mapsto (t^2, t^3)$ です。$\nu$ は底空間の全単射ですが同型ではありません。原点の上には 1 点 $t = 0$ があります。

（結節点）$A_2 = k[x, y]/(y^2 - x^2(x + 1))$ で $t = y/x$ とおくと、$t^2 = x + 1$ なので $t$ は $A_2$ 上整で、$x = t^2 - 1$、$y = t(t^2 - 1)$ です。$x \mapsto t^2 - 1$、$y \mapsto t(t^2 - 1)$ は準同型 $A_2 \to k[t]$ を定めます。$y^2 - x^2(x+1)$ は既約なので $A_2$ は次元 $1$ の整域で、像 $k[t^2 - 1, t(t^2 - 1)]$ も次元 $1$ の整域なので、核は高さ $0$ の素イデアル、すなわち $0$ です。よって $A_2 \subseteq k[t]$ と見なせ、$\operatorname{Frac} A_2 = k(t)$、正規化は $k[t]$ です。$\nu\colon \mathbb{A}^1_k \to C_2$ で原点に写る点は $t^2 - 1 = 0$ の 2 点 $t = \pm 1$ です。

尖点は正規化で 1 点のまま、結節点は 2 点に分かれます。結節点では曲線の 2 本の枝が交わっていて、正規化はそれを引き離します。

定理 4.4（正規スキームの余次元 1 の点と関数の延長）✓

$X$ を正規な Noether 整スキームとする。

1. 余次元 $1$ の点 $x$（$\dim \mathcal{O}_{X,x} = 1$ となる点）での局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ は離散付値環である。
2. $Z \subseteq X$ を閉集合とし、$Z$ のすべての点 $z$ で $\dim \mathcal{O}_{X,z} \ge 2$ であるとする。このとき制限写像 $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \Gamma(X \setminus Z, \mathcal{O}_X)$ は全単射である。

証明（定理 4.4）

(1) $\mathcal{O}_{X,x}$ は次元 $1$ の Noether 局所整域で整閉なので、離散付値環です（定理 3.4［離散付値環と Dedekind 環］）。

(2) $X$ は整なので、空でない開集合 $U$ の上の切断の環 $\mathcal{O}_X(U)$ と茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ は関数体 $K = K(X)$ の部分環で、制限写像と芽を取る写像は包含です（命題 2.2［スキームの性質と射］）。生成点 $\eta$ の局所環 $\mathcal{O}_{X,\eta} = K$ は体で次元 $0$ なので、仮定により $\eta \notin Z$ です。よって $X \setminus Z$ は空でなく、制限写像は単射です。

全射性を示します。$s \in \Gamma(X \setminus Z, \mathcal{O}_X) \subseteq K$ を取ります。$X$ の各アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について $s \in A$ を示せば、$s$ は各 $U$ の上の切断を定め、それらは $K$ の同じ元なので貼り合わさって $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ の元になります。$A$ は Noether 整閉整域です。$A$ が体なら $U$ は 1 点で、その点は $Z$ に属さないので $s \in \mathcal{O}_X(U \setminus Z) = A$ です。$A$ が体でなければ

$$A = \bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1} A_{\mathfrak{p}}$$

が $K$ の中で成り立ちます（定理 6.2［離散付値環と Dedekind 環］ の 1 と 2）。高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応する点は、局所環の次元が $1$ なので $Z$ に属さず、$X \setminus Z$ の点です。よって $s$ の芽は $\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$ に属し、$s \in \bigcap A_{\mathfrak{p}} = A$ です。

∎

(2) は多変数複素関数論の Hartogs の定理の代数版です。余次元の仮定は必要で、$\mathbb{A}^1_k$ の原点（余次元 $1$）の外で定義された $1/x$ は原点に延びません。$\mathbb{A}^2_k$ の原点（余次元 $2$）の外の正則関数が多項式に限ることは、準連接層の章の穴あき平面の例で直接確かめました。

例 4.5（2 次錐は正規だが特異）

$A = k[x, y, z]/(xy - z^2)$ とします。$x \mapsto u^2$、$y \mapsto v^2$、$z \mapsto uv$ は $A$ から $k[u, v]$ への準同型で、像は偶数次の単項式で張られる部分環 $A^{\mathrm{ev}} = k[u^2, uv, v^2]$ です。$A$ は $k[x, y]$ 加群として $1, z$ で生成され、$p(x, y) + q(x, y)z \mapsto p(u^2, v^2) + q(u^2, v^2)uv$ は、第 1 項が $u, v$ について偶数次、第 2 項が奇数次の単項式だけからなるので、$0$ になるのは $p = q = 0$ のときに限ります。よって $A \cong A^{\mathrm{ev}}$ は次元 $2$ の整域です。

（正規）$f \in \operatorname{Frac} A^{\mathrm{ev}}$ が $A^{\mathrm{ev}}$ 上整であるとします。$f$ は $k[u, v]$ 上整で、$k[u, v]$ は整閉なので $f \in k[u, v]$ です。$f = g/h$（$g, h \in A^{\mathrm{ev}}$、$h \ne 0$）と書き、$f = f_0 + f_1$ を偶数次の項と奇数次の項に分けます。$fh = g$ の奇数次の部分を比べると $f_1 h = 0$ なので $f_1 = 0$、$f \in A^{\mathrm{ev}}$ です。

（特異）原点 $\mathfrak{m} = (x, y, z)$ で、$xy - z^2 \in \mathfrak{m}^2$ なので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $3$ 次元です。$3 > 2 = \dim A$ なので原点は特異点です。Jacobi 行列 $(y, x, -2z)$ が消えるのは原点だけなので、特異点は原点 1 点で、その余次元は $2$ です。定理 4.4 の 1 と矛盾しません。

5. 微分の層

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とします。対角射 $\Delta\colon X \to X \times_Y X$ ははめ込みなので、$X \times_Y X$ の開部分スキーム $W$ で、$\Delta$ が閉はめ込み $X \to W$ になるものがあります（命題 3.2［分離射・固有射と付値判定法］）。そのイデアル層を $\mathcal{I} \subseteq \mathcal{O}_W$ とします。$\mathcal{I}$ は準連接です（定理 5.2［準連接層・連接層と直線束］）。$\mathcal{I}^2$ は積 $\mathcal{I} \otimes \mathcal{I} \to \mathcal{O}_W$ の像です。

次の定義のねらいを先に述べます。$X \times_Y X$ は「$X$ の 2 点の組」の空間で、対角 $\Delta(X)$ は 2 点が一致する組の集まりです。対角のイデアル層 $\mathcal{I}$ は、2 点が一致するところで消える関数の全体で、$p_2^{\sharp}b - p_1^{\sharp}b$（一方の点での $b$ の値と他方の点での値の差）はその代表的な元です。$\mathcal{I}^2$ で割るのは、「差の差」にあたる 2 次以上の微小量を無視して、1 次の微小量 $db$ だけを残すためです。次の定義はこれを $X$ の上に引き戻したもので、アフィンの場合に、乗法 $B \otimes_A B \to B$ の核 $J$ について $J/J^2$ が Kähler 微分加群になること（定理 5.2 の 1）が確かめられます。

定義 5.1（相対微分の層）↗

$\Omega_{X/Y} = \Delta^{*}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ を $X$ の $Y$ 上の相対微分の層という。$X$ の開集合 $U$ の上の切断 $b \in \mathcal{O}_X(U)$ について、射影 $p_1, p_2\colon X \times_Y X \to X$ による引き戻しの差 $p_2^{\sharp}b - p_1^{\sharp}b$ は、$\Delta^{\sharp}$ で $0$ に写るので $\mathcal{I}$ の切断であり、その $\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ での類を $\Delta$ で引き戻したものを $db \in \Omega_{X/Y}(U)$ と書く。$d\colon \mathcal{O}_X \to \Omega_{X/Y}$ を普遍導分という。$Y = \operatorname{Spec} k$ のとき $\Omega_{X/k}$ と書く。

$W$ を小さく取り替えても、$\Delta^{*}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ は変わりません（$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ の制限を引き戻すだけです）。

定理 5.2（微分の層の基本性質）✓

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とする。

1. $\Omega_{X/Y}$ は準連接である。アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} B \subseteq X$、$V = \operatorname{Spec} A \subseteq Y$ で $f(U) \subseteq V$ となるものについて、同型 $\Omega_{X/Y}|_U \cong \widetilde{\Omega_{B/A}}$ があり、$d$ は Kähler 微分加群の普遍導分 $d_{B/A}$ に対応する。とくに開集合 $U \subseteq X$ について $\Omega_{U/Y} = \Omega_{X/Y}|_U$ である。
2. $Y$ が局所 Noether で $f$ が局所有限型ならば、$\Omega_{X/Y}$ は連接である。
3. （底変換）$Y' \to Y$ を射、$X' = X \times_Y Y'$、$g'\colon X' \to X$ を射影とする。$g'^{*}(db) \mapsto d(g'^{\sharp}b)$ を満たす同型 $g'^{*}\Omega_{X/Y} \cong \Omega_{X'/Y'}$ がただ一つ存在する。

証明（定理 5.2）

(1) $U$、$V$ を主張のとおりとします。$U \times_V U = \operatorname{Spec}(B \otimes_A B)$ は $X \times_Y X$ の開部分スキームで、$\Delta^{-1}(U \times_V U) = U$、$\Delta|_U$ は乗法 $\mu\colon B \otimes_A B \to B$ に対応する閉はめ込みです（命題 3.2［分離射・固有射と付値判定法］ の 1）。$W$ を $U \times_V U$ との交わりに取り替えてよいので、$U \times_V U \subseteq W$ としてかまいません。$J = \ker\mu$ とおくと、$U \times_V U$ の上で $\mathcal{I} = \widetilde{J}$ です（定理 5.2［準連接層・連接層と直線束］ の 1）。$\widetilde{\ \cdot\ }$ は完全でテンソル積を保つので、$\mathcal{I}^2 = \widetilde{J^2}$、$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2 = \widetilde{J/J^2}$ です（定理 4.3［準連接層・連接層と直線束］ の 2）。引き戻しは係数の拡大なので（命題 6.2［準連接層・連接層と直線束］ の 2）、

$$\Omega_{X/Y}|_U \;\cong\; \widetilde{(J/J^2) \otimes_{B \otimes_A B} B} \;=\; \widetilde{J/J^2}$$

です。$J/J^2$ はすでに $(B \otimes_A B)/J \cong B$ 上の加群なので、係数を拡大しても変わりません。$J/J^2$ は定義により $\Omega_{B/A}$ で（定義 2.4［Kähler 微分と滑らかさの入口］）、$p_2^{\sharp}b - p_1^{\sharp}b = 1 \otimes b - b \otimes 1$ の類は $d_{B/A}(b)$ です。このような $U$ は $X$ を覆うので、$\Omega_{X/Y}$ は準連接です。

(2) $B$ が $A$ 代数として $b_1, \ldots, b_n$ で生成されるなら、$\Omega_{B/A}$ は $db_1, \ldots, db_n$ で生成されます（定理 2.5［Kähler 微分と滑らかさの入口］）。$X$ は局所 Noether なので（命題 2.3［スキームの性質と射］）、$\Omega_{X/Y}$ は連接です。

(3) $g'^{*}\Omega_{X/Y}$ は、$\Omega_{X/Y}$ が $db$ の形の切断で生成されることから、$g'^{*}(db)$ の形の切断で生成されます。したがって主張の条件を満たす $\mathcal{O}_{X'}$ 線形な射は、どの開集合の上でも高々一つです。$X'$ は、アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} B$、$V = \operatorname{Spec} A$（$f(U) \subseteq V$）と、$V$ の上にあるアフィン開集合 $V' = \operatorname{Spec} A' \subseteq Y'$ による $U' = U \times_V V' = \operatorname{Spec} B'$（$B' = A' \otimes_A B$）で覆われます。$U'$ の上で、$g'^{*}\Omega_{X/Y}$ は $B' \otimes_B \Omega_{B/A}$ に、$\Omega_{X'/Y'}$ は $\Omega_{B'/A'}$ に伴う層で、$b' \otimes db \mapsto b'\,d(1 \otimes b)$ は同型です（命題 4.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の 3）。これは条件を満たす射で、一意性により $U'$ の交わりの上で一致するので、貼り合わさって大域的な同型を与えます。

∎

(1) により、点 $x$ での茎は、$x$ に対応する素イデアル $\mathfrak{p}$ について $(\Omega_{B/A})_{\mathfrak{p}} \cong \Omega_{B_{\mathfrak{p}}/A}$ です（命題 4.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の 2）。$\Omega_{\mathbb{A}^n_A/A}$ は $dx_1, \ldots, dx_n$ を基底とする自由層です（同 1）。

定理 5.3（微分の層の二つの完全列）✓

1. （第一完全列）スキームの射 $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} S$ について、$\mathcal{O}_X$ 加群の完全列 $$f^{*}\Omega_{Y/S} \xrightarrow{\ u\ } \Omega_{X/S} \xrightarrow{\ v\ } \Omega_{X/Y} \longrightarrow 0, \qquad u(f^{*}(dy)) = d(f^{\sharp}y), \quad v(db) = db$$ がある。
2. （第二完全列）$X \to S$ をスキームの射、$i\colon Z \to X$ を閉はめ込み、$\mathcal{I}$ をそのイデアル層とする。$\mathcal{O}_Z$ 加群の完全列 $$i^{*}\mathcal{I} \xrightarrow{\ \delta\ } i^{*}\Omega_{X/S} \xrightarrow{\ w\ } \Omega_{Z/S} \longrightarrow 0, \qquad \delta(i^{*}a) = i^{*}(da), \quad w(i^{*}(db)) = d(i^{\sharp}b)$$ がある。アフィン開集合 $\operatorname{Spec} B \subseteq X$ の上で $\mathcal{I} = \widetilde{I}$ とすると、$i^{*}\mathcal{I}$ は $B/I$ 加群 $I/I^2$ に伴う層である。

証明（定理 5.3）

どちらの列でも、射は生成元の行き先で指定されているので、存在すれば一意です。したがって $X$ のアフィン開被覆の上で射を作り、完全性を確かめれば、射は貼り合わさり、完全性は茎で確かめられるので、主張が従います。

(1) アフィン開集合 $\operatorname{Spec} C \subseteq X$、$\operatorname{Spec} B \subseteq Y$、$\operatorname{Spec} A \subseteq S$ を、$f(\operatorname{Spec} C) \subseteq \operatorname{Spec} B$、$g(\operatorname{Spec} B) \subseteq \operatorname{Spec} A$ となるように取ります。このような $\operatorname{Spec} C$ は $X$ を覆います。定理 5.2 の 1 と 命題 6.2［準連接層・連接層と直線束］ の 2 により、三つの層は $C \otimes_B \Omega_{B/A}$、$\Omega_{C/A}$、$\Omega_{C/B}$ に伴う層で、第一基本完全列（定理 5.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）に $\widetilde{\ \cdot\ }$ を施したものが求める完全列です。

(2) アフィン開集合 $\operatorname{Spec} B \subseteq X$ を、$S$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ に写るように取ります。$i^{-1}(\operatorname{Spec} B) = \operatorname{Spec} B/I$、$\mathcal{I} = \widetilde{I}$ です（定理 5.2［準連接層・連接層と直線束］ の 1）。$i^{*}\mathcal{I}$ は $I \otimes_B B/I \cong I/I^2$ に伴う層で（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 5）、$i^{*}\Omega_{X/S}$ は $(B/I) \otimes_B \Omega_{B/A}$ に伴う層です。第二基本完全列（定理 5.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］）に $\widetilde{\ \cdot\ }$ を施したものが求める完全列です。

∎

定義 5.4（接層・余法層・法層）↗

1. $X$ を体 $k$ 上のスキームとする。$\mathcal{T}_X = \mathcal{H}om_{\mathcal{O}_X}(\Omega_{X/k}, \mathcal{O}_X)$ を接層という。
2. $i\colon Z \to X$ を閉はめ込み、$\mathcal{I}$ をイデアル層とする。$\mathcal{O}_Z$ 加群 $\mathcal{C}_{Z/X} = i^{*}\mathcal{I}$（アフィン開集合の上で $I/I^2$。$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ とも書く）を余法層、その双対 $\mathcal{N}_{Z/X} = \mathcal{C}_{Z/X}^{\vee}$ を法層という。

6. 外冪と行列式層

標準層を定義するために、外冪を加群と層について用意します。ベクトル空間の外冪は テンソル積・外積代数 で扱っていますが、ここでは環上の加群について、最高次の外冪に必要なことだけを証明します。

定義 6.1（外冪・行列式層）↗

$A$ を環、$M$ を $A$ 加群、$r \ge 1$ とする。$M^{\otimes r}$ を、ある $i \ne j$ で $m_i = m_j$ となる $m_1 \otimes \cdots \otimes m_r$ の全体が生成する部分加群で割った加群を $\bigwedge^r M$ と書き、$m_1 \otimes \cdots \otimes m_r$ の像を $m_1 \wedge \cdots \wedge m_r$ と書く。$\bigwedge^0 M = A$ とする。

環付き空間 $X$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ について、前層 $U \mapsto \bigwedge^r_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{F}(U)$ の層化を $\bigwedge^r\mathcal{F}$ と書く。階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $\det\mathcal{E} = \bigwedge^n\mathcal{E}$ を行列式層という。

$M^r \to \bigwedge^r M$、$(m_1, \ldots, m_r) \mapsto m_1 \wedge \cdots \wedge m_r$ は多重線形かつ交代的（二つの成分が等しければ $0$）で、$M^r$ から加群 $P$ への多重線形かつ交代的な写像は $\bigwedge^r M \to P$ の線形写像をただ一つ経由します。$(m + m') \wedge (m + m') = 0$ を展開すると $m \wedge m' = -m' \wedge m$（ほかの成分は固定）なので、成分を置換 $\sigma$ で並べ替えると符号 $\operatorname{sgn}\sigma$ が付きます。

補題 6.2（行列式層の性質）✓

1. $M$ を $e_1, \ldots, e_n$ を基底とする自由 $A$ 加群とする。$\bigwedge^n M$ は $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ を基底とする階数 $1$ の自由加群で、$v_j = \sum_i a_{ij}e_i$ について $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n = \det(a_{ij})\,e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ である。$r > n$ なら $\bigwedge^r M = 0$ である。
2. 階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $\det\mathcal{E}$ は可逆層である。可逆層 $\mathcal{L}$ について $\det\mathcal{L} = \mathcal{L}$ である。
3. $0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0$ を局所自由層の完全列とし、階数を $a$、$n$、$b$ とする。このとき $n = a + b$ で、$\det\mathcal{E} \cong \det\mathcal{E}' \otimes \det\mathcal{E}''$ である。とくに可逆層 $\mathcal{L}$ について $\det(\mathcal{L}^{\oplus m}) \cong \mathcal{L}^{\otimes m}$ である。
4. $f\colon X \to Y$ を環付き空間の射とする。$\mathcal{O}_Y$ 加群 $\mathcal{G}, \mathcal{G}'$ について $f^{*}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{G}') \cong f^{*}\mathcal{G} \otimes f^{*}\mathcal{G}'$ である。$Y$ 上の階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $f^{*}\mathcal{E}$ は階数 $n$ の局所自由層で、$f^{*}\det\mathcal{E} \cong \det f^{*}\mathcal{E}$、$f^{*}(\mathcal{E}^{\vee}) \cong (f^{*}\mathcal{E})^{\vee}$ である。
5. 階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $\det(\mathcal{E}^{\vee}) \cong (\det\mathcal{E})^{\vee}$ である。

証明（補題 6.2）

(1) $v_1 \wedge \cdots \wedge v_r$ を多重線形性で展開すると、$e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_r}$ の一次結合になります。$r > n$ なら添字に重複があるのですべて $0$ です。$r = n$ のとき、添字に重複のある項は $0$ で、残るのは置換 $\sigma$ による $\prod_j a_{\sigma(j)j}\,e_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge e_{\sigma(n)} = \operatorname{sgn}(\sigma)\prod_j a_{\sigma(j)j}\,e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ なので、和は行列式の定義式（定義 3.1［行列式とその性質］）により $\det(a_{ij})\,e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ です。とくに $\bigwedge^n M$ は $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ で生成されます。逆に、$(v_1, \ldots, v_n) \mapsto \det(a_{ij})$ は列について多重線形で、二つの列が等しければ、定義式の和で $\sigma$ の項とその 2 列を入れ替えた置換の項が打ち消し合って $0$ になります（この議論は任意の可換環で通ります）。よって線形写像 $\bigwedge^n M \to A$ で $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n \mapsto 1$ となるものがあり、$a\,e_1 \wedge \cdots \wedge e_n = 0$ なら $a = 0$ です。

(2) 自明化 $\mathcal{E}|_U \cong \mathcal{O}_U^{\oplus n}$ があると、開集合 $U' \subseteq U$ について $\bigwedge^n \mathcal{E}(U')$ は (1) により $\mathcal{O}_X(U')\,e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ で、前層 $U' \mapsto \bigwedge^n\mathcal{E}(U')$ は $U$ の上で $\mathcal{O}_U$ と同型な層です。よって $\det\mathcal{E}|_U \cong \mathcal{O}_U$ です。$n = 1$ のときは $\bigwedge^1 = \operatorname{id}$ です。

(3) 茎は自由加群の完全列 $0 \to \mathcal{O}_x^a \to \mathcal{O}_x^n \to \mathcal{O}_x^b \to 0$ で、$\mathcal{O}_x^b$ が自由なので分裂し、剰余体をテンソルして次元を比べると $n = a + b$ です。$X$ の各点は、$\mathcal{E}'$ と $\mathcal{E}''$ が自由で、$\mathcal{E}''$ の基底が $\mathcal{E}$ の切断に持ち上がる開近傍をもちます。そのような開集合 $U$ の上で、$\mathcal{E}'$ の基底 $v_1, \ldots, v_a$ と、$\mathcal{E}''$ の基底 $\bar w_1, \ldots, \bar w_b$ の持ち上げ $w_1, \ldots, w_b \in \mathcal{E}(U)$ を取ると、$v_1, \ldots, v_a, w_1, \ldots, w_b$ は $\mathcal{E}|_U$ の基底です。

開集合 $U$ と $v_i \in \mathcal{E}'(U)$、$w_j \in \mathcal{E}(U)$ について、$\det\mathcal{E}$ の切断 $v_1 \wedge \cdots \wedge v_a \wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_b$ を考えます。$w_j$ を $w_j + v'$（$v' \in \mathcal{E}'(U)$）に取り替えたときの差は $v_1 \wedge \cdots \wedge v_a \wedge v'$ を因子にもち、これは $\bigwedge^{a+1}\mathcal{E}'$ から来るので (1) により局所的に $0$、したがって $0$ です。よってこの切断は $v$ と、$w_j$ の $\mathcal{E}''$ での像だけで決まり、$v$ と $\bar w$ のそれぞれについて多重線形かつ交代的です。$\mathcal{E}''$ の切断は局所的に $\mathcal{E}$ に持ち上がるので、これは層の射

$$\det\mathcal{E}' \otimes \det\mathcal{E}'' \longrightarrow \det\mathcal{E}, \qquad (v_1 \wedge \cdots \wedge v_a) \otimes (\bar w_1 \wedge \cdots \wedge \bar w_b) \longmapsto v_1 \wedge \cdots \wedge v_a \wedge w_1 \wedge \cdots \wedge w_b$$

を定めます。上の基底について、これは基底を基底に写すので、局所的に同型、したがって同型です。後半は、$0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{L}^{\oplus m} \to \mathcal{L}^{\oplus(m-1)} \to 0$ に前半を使った帰納法です。

(4) $s \in \mathcal{G}(V)$ に対し、随伴の単位による像を $f^{*}s \in (f^{*}\mathcal{G})(f^{-1}(V))$ と書きます。$(s, s') \mapsto f^{*}s \otimes f^{*}s'$ は双線形で、射 $\mathcal{G} \otimes \mathcal{G}' \to f_{*}(f^{*}\mathcal{G} \otimes f^{*}\mathcal{G}')$、したがって随伴で $f^{*}(\mathcal{G} \otimes \mathcal{G}') \to f^{*}\mathcal{G} \otimes f^{*}\mathcal{G}'$ を定めます。点 $x$、$y = f(x)$ での茎は

$$(\mathcal{G}_y \otimes_{\mathcal{O}_y} \mathcal{G}'_y) \otimes_{\mathcal{O}_y} \mathcal{O}_x \longrightarrow (\mathcal{G}_y \otimes_{\mathcal{O}_y} \mathcal{O}_x) \otimes_{\mathcal{O}_x} (\mathcal{G}'_y \otimes_{\mathcal{O}_y} \mathcal{O}_x)$$

で（命題 6.2［準連接層・連接層と直線束］ の 1 と 補題 2.2［準連接層・連接層と直線束］）、これは同型です（命題 2.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 2 とテンソル積の結合律）。$f^{*}$ は $\mathcal{O}_Y$ を $\mathcal{O}_X$ に写し、直和と開集合への制限と両立するので、$f^{*}\mathcal{E}$ は階数 $n$ の局所自由層です。同じ方法で、$v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \mapsto f^{*}v_1 \wedge \cdots \wedge f^{*}v_n$ は射 $f^{*}\det\mathcal{E} \to \det f^{*}\mathcal{E}$ を、$\varphi \mapsto f^{*}\varphi$ は射 $f^{*}(\mathcal{E}^{\vee}) \to (f^{*}\mathcal{E})^{\vee}$ を定め、$\mathcal{E}$ が自由な開集合の上では基底を基底（双対基底を双対基底）に写すので同型です。

(5) $\varphi_i \in \mathcal{E}^{\vee}(U)$、$v_j \in \mathcal{E}(U)$ について $\det(\varphi_i(v_j))$ は、$\varphi$ と $v$ のそれぞれについて多重線形かつ交代的なので、射 $\det(\mathcal{E}^{\vee}) \otimes \det\mathcal{E} \to \mathcal{O}_X$ を定めます。$\mathcal{E}$ の基底 $e_j$ と双対基底 $e_i^{*}$ について、$(e_1^{*} \wedge \cdots \wedge e_n^{*}) \otimes (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) \mapsto \det(\delta_{ij}) = 1$ なので、局所的に同型です。Picard 群での逆元の一意性（命題 7.4［準連接層・連接層と直線束］）により $\det(\mathcal{E}^{\vee}) \cong (\det\mathcal{E})^{\vee}$ です。

∎

定義 6.3（標準層・幾何種数）↗

$X$ を代数閉体 $k$ 上の $n$ 次元の非特異多様体とする。定理 7.3 により $\Omega_{X/k}$ は階数 $n$ の局所自由層である。可逆層 $\omega_X = \det\Omega_{X/k} = \bigwedge^n\Omega_{X/k}$ を $X$ の標準層という。$X$ が射影的なとき、$p_g(X) = \dim_k \Gamma(X, \omega_X)$ を幾何種数という。

7. 非特異性と微分の層

この節では $k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の多様体、$n = \dim X$ とし、$\Omega = \Omega_{X/k}$ と書きます。$\Omega$ は連接層です（定理 5.2 の 2）。この節の目標は、各点で $\Omega$ のファイバーの次元 $\varphi(x)$ を測ると、それが $\dim X$ より大きくなる点がちょうど特異点になる、と示すことです。点 $x \in X$ について

$$\varphi(x) = \dim_{\kappa(x)} \Omega_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} \kappa(x)$$

とおきます。

補題 7.1（関数体の微分の次元）✓

$k$ を完全体、$K = k(x_1, \ldots, x_N)$ を $k$ 上有限生成な体とする。このとき $\dim_K \Omega_{K/k} \le \operatorname{trdeg}_k K$ である。

証明（補題 7.1）

生成元の個数 $N$ についての帰納法で示します。$N = 0$ なら $K = k$、$\Omega_{k/k} = 0$ です。

$x_1, \ldots, x_N$ が $k$ 上代数的に独立なら、$K$ は多項式環 $P = k[x_1, \ldots, x_N]$ の商体で、$\Omega_{K/k} \cong K \otimes_P \Omega_{P/k}$ は $dx_1, \ldots, dx_N$ を基底とする $N$ 次元空間です（命題 4.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の 1 と 2）。$\operatorname{trdeg}_k K = N$ なので成り立ちます。

代数的に独立でないとします。$F(x_1, \ldots, x_N) = 0$ となる $0$ でない多項式 $F \in k[X_1, \ldots, X_N]$ のうち、全次数が最小のものを取ります。$F$ は定数でないので次数は $1$ 以上です。

ある $i$ で $\partial F/\partial X_i \ne 0$ である。 すべての偏導関数が $0$ であるとします。標数 $0$ なら $F$ は定数になり矛盾です。標数 $p > 0$ なら、$F$ に現れる単項式はすべての変数の指数が $p$ の倍数で、$F = \sum_\alpha c_\alpha X^{p\alpha}$ と書けます。$k$ は完全体なので $c_\alpha = b_\alpha^p$ となる $b_\alpha \in k$ があり（定義 9.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）、$G = \sum_\alpha b_\alpha X^\alpha$ とおくと $F = G^p$ です。$G(x)^p = 0$ から $G(x) = 0$ で、$G$ の次数は $F$ より小さいので、$F$ の最小性に反します。

この $i$ について、$\partial F/\partial X_i$ は $F$ より次数が小さい $0$ でない多項式なので、最小性から $(\partial F/\partial X_i)(x_1, \ldots, x_N) \ne 0$ です。$K' = k(x_j : j \ne i)$、$g(T) = F(x_1, \ldots, T, \ldots, x_N) \in K'[T]$（第 $i$ 変数に $T$ を代入）とおくと、$g(x_i) = 0$、$g'(x_i) \ne 0$ です。とくに $g \ne 0$ で、$x_i$ は $K'$ 上代数的、$K = K'[x_i]$ です。

$\Omega_{K/K'}$ は $dx_i$ で生成され（定理 2.5［Kähler 微分と滑らかさの入口］）、$K'$ 導分 $d$ について $0 = d(g(x_i)) = g'(x_i)\,dx_i$ なので（補題 2.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の 1）、$dx_i = 0$、$\Omega_{K/K'} = 0$ です。第一基本完全列（定理 5.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）により $K \otimes_{K'} \Omega_{K'/k} \to \Omega_{K/k}$ は全射で、

$$\dim_K \Omega_{K/k} \le \dim_{K'} \Omega_{K'/k} \le \operatorname{trdeg}_k K' = \operatorname{trdeg}_k K$$

です。2 番目の不等号は、$N - 1$ 個の元で生成される $K'$ への帰納法の仮定、最後の等号は $K$ が $K'$ 上代数的であることによります（定理 2.4［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ の 4）。

∎

完全体という仮定は必要です。$k = \mathbb{F}_p(t)$、$K = k(t^{1/p})$ では $\operatorname{trdeg}_k K = 0$ ですが $\Omega_{K/k}$ は $1$ 次元です（Kähler 微分の非分離拡大の例）。

補題 7.2（ファイバーの次元が生成点と等しければ局所自由）✓

$X$ を Noether 整スキーム、$\eta$ を生成点、$\mathcal{F}$ を連接層、$x \in X$ とする。$\dim_{\kappa(x)}\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x) = \dim_{K(X)}\mathcal{F}_\eta = r$ ならば、$x$ の開近傍 $W$ で $\mathcal{F}|_W \cong \mathcal{O}_W^{\oplus r}$ となるものがある。

証明（補題 7.2）

$\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)$ の基底に写る $r$ 個の切断を $x$ の近傍に取ると、補題 7.2［準連接層・連接層と直線束］ の 2 により、$x$ のアフィン開近傍 $W = \operatorname{Spec} A$ の上で全射 $u\colon \mathcal{O}_W^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_W$ が得られます。$A$ は整域で、$u$ は加群の全射 $A^r \to M$（$M = \Gamma(W, \mathcal{F})$）に対応します。核を $N$ とします。$K = \operatorname{Frac} A$ での局所化は完全なので、$0 \to N \otimes_A K \to K^r \to \mathcal{F}_\eta \to 0$ は完全で、$\dim_K \mathcal{F}_\eta = r$ から $N \otimes_A K = 0$ です。$N$ は整域 $A$ 上の自由加群 $A^r$ の部分加群なので、$N \to N \otimes_A K$ は単射で、$N = 0$ です。よって $u$ は同型です。

∎

定理 7.3（非特異性と Ω の局所自由性）✓

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の多様体、$n = \dim X$ とする。

1. 閉点 $x$ について、$a \mapsto da$ は同型 $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 \cong \Omega_x \otimes \kappa(x)$ を与える。したがって Zariski 接空間の次元 $\dim_k T_xX$ は $\varphi(x)$ に等しく、$\Omega_x$ の極小生成系の元の個数に等しい。$\varphi(x) \ge n$ で、等号は $X$ が $x$ で正則なときに限る。
2. 各整数 $r$ について $\{ x \in X : \varphi(x) \le r \}$ は開集合である。すべての点 $y$ で $\varphi(y) \ge n$ で、生成点 $\eta$ では $\varphi(\eta) = \dim_{K(X)}\Omega_{K(X)/k} = n$ である。
3. $X$ が非特異であることと、$\Omega_{X/k}$ が階数 $n$ の局所自由層であることは同値である。

証明（定理 7.3）

(1) $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} B$ を取り、$x$ に対応する極大イデアルを $\mathfrak{n}$ とします。$B/\mathfrak{n} = k$ です（補題 2.3 の 1）。余接空間と Kähler 微分の関係（命題 8.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）により $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2 \cong \Omega_{B/k} \otimes_B k$ です。$\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ には $\mathfrak{n}$ の外の元が可逆に作用するので $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 = \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ で、$\Omega_x \otimes \kappa(x) = \Omega_{B/k} \otimes_B k$ です（定理 5.2 の 1）。極小生成系の個数は 系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ です。$\dim \mathcal{O}_{X,x} = n$ です（定理 2.4 の 2）。$\mathfrak{m}_x$ は $\dim_k \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ 個の元で生成され、その個数は $\operatorname{ht}\mathfrak{m}_x = \dim \mathcal{O}_{X,x}$ 以上なので（定理 4.3［Krull 次元と単項イデアル定理］）、$\varphi(x) = \dim_k \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 \ge n$ で、等号は定義により $\mathcal{O}_{X,x}$ が正則なときです（定義 6.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。

(2) $\varphi(x) \le r$ とすると、$\Omega_x \otimes \kappa(x)$ を生成する $r$ 個の切断が $x$ の近傍にあり、補題 7.2［準連接層・連接層と直線束］ の 2 により、$x$ の開近傍のすべての点 $y$ で $\Omega_y$ は $r$ 個の元で生成され、$\varphi(y) \le r$ です。よって $\{\varphi \le r\}$ は開集合です。$\{\varphi \le n - 1\}$ が空でなければ閉点を含みますが（補題 2.3 の 2）、(1) に反します。よってすべての点で $\varphi \ge n$ です。

生成点について。空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} B$ を取ると、$\Omega_\eta$ は $\Omega_{B/k}$ の $(0)$ での局所化で、$\Omega_{K/k}$（$K = K(X) = \operatorname{Frac} B$）と同型です（命題 4.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の 2）。$K$ は $k$ 上有限生成な体で、代数閉体 $k$ は完全体です（標数 $p > 0$ なら、$a \in k$ について $T^p - a$ が根をもつので Frobenius 写像は全射）。補題 7.1 と 定理 2.4 の 1 により $\varphi(\eta) \le \operatorname{trdeg}_k K = n$ で、$\varphi(\eta) \ge n$ と合わせて等号です。

(3) $\Omega$ が階数 $n$ の局所自由層なら、すべての閉点で $\varphi(x) = n$ なので、(1) により $X$ は閉点で正則です。任意の点 $y$ は閉点 $x$ へ特殊化し（補題 2.3 の 2）、$\mathcal{O}_{X,y}$ は正則局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ の素イデアルでの局所化なので正則です（系 7.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。よって $X$ は正則スキームです。

逆に $X$ が非特異であるとします。点 $y$ を取り、$y$ の特殊化である閉点 $x$ を取ります（補題 2.3 の 2）。$\{\varphi \le \varphi(x)\}$ は $x$ を含む開集合なので $y$ を含み、(1)、(2) から $n \le \varphi(y) \le \varphi(x) = n$ です。よってすべての点で $\varphi(y) = n = \varphi(\eta)$ で、補題 7.2 により $\Omega$ は各点の近傍で階数 $n$ の自由加群です。

∎

(1) により、$\Omega_{X/k}$ は閉点ごとの余接空間 $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ を束ねた層です。特異点では $\varphi$ が跳ね上がり、$\Omega$ は自由でなくなります。

系 7.4（特異点の全体は真の閉集合）✓

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の多様体とする。$X$ が正則である点の全体は $\{ x \in X : \varphi(x) = n \}$ に等しく、空でない開集合である。したがって特異点の全体 $\operatorname{Sing} X$ は $X$ と異なる閉集合である。

証明（系 7.4）

$R = \{\varphi = n\}$ とおきます。定理 7.3 の 2 により $R = \{\varphi \le n\}$ は生成点を含む開集合です。

$R$ の点は正則。 $R$ は $X$ の空でない開部分スキームなので $n$ 次元の多様体で、$\Omega_{R/k} = \Omega|_R$ です（定理 5.2 の 1）。$R$ のすべての点で $\varphi = n = \varphi(\eta)$ なので、補題 7.2 により $\Omega|_R$ は階数 $n$ の局所自由層で、定理 7.3 の 3 により $R$ は非特異です。

正則な点は $R$ に属する。 $y \in X$ を正則な点とします。$y$ が閉点なら 定理 7.3 の 1 により $\varphi(y) = n$ です。一般の場合、$y$ の特殊化である閉点で正則なものが $R$ の中に見つかれば、$R$ は開集合なので $y \in R$ です。それを作ります。

$y$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} B$ を取り、$y$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$、$h = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ とします。$B_{\mathfrak{p}}$ は次元 $h$ の正則局所環なので、$\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$ は $h$ 個の元 $a_1, \ldots, a_h \in \mathfrak{p}$ で生成されます。$\mathfrak{p}$ は有限生成なので、ある $g \notin \mathfrak{p}$ について $\mathfrak{p}B_g = (a_1, \ldots, a_h)B_g$ です。$Z = V(\mathfrak{p})$ は $n - h$ 次元の多様体で（定理 2.4 の 3）、いま示したことを $Z$ に使うと、$Z$ の正則な点の全体は空でない開集合を含みます。$Z$ は既約なので、これと空でない開集合 $Z \cap D(g)$ の交わりは空でなく、閉点 $x$ を含みます（補題 2.3 の 2）。$x$ に対応する $B$ の極大イデアルを $\mathfrak{n}$ とします。

$(B/\mathfrak{p})_{\mathfrak{n}}$ は次元 $n - h$ の正則局所環なので（次元は 定理 2.4 の 2）、その極大イデアルは $n - h$ 個の元で生成されます。それらの持ち上げ $b_1, \ldots, b_{n-h} \in \mathfrak{n}B_{\mathfrak{n}}$ を取ると、$g \notin \mathfrak{n}$ から $\mathfrak{p}B_{\mathfrak{n}} = (a_1, \ldots, a_h)B_{\mathfrak{n}}$ なので、$\mathfrak{n}B_{\mathfrak{n}}$ は $n$ 個の元 $a_1, \ldots, a_h, b_1, \ldots, b_{n-h}$ で生成されます。$\dim B_{\mathfrak{n}} = n$ なので $B_{\mathfrak{n}}$ は正則で、$x$ は $X$ の正則な閉点、したがって $x \in R$ です。$x$ は $y$ の特殊化なので $y \in R$ です。

以上で正則な点の全体は $R$ に等しく、$\operatorname{Sing} X = X \setminus R$ は生成点を含まない閉集合です。

∎

例 7.5（平面曲線の特異点の求め方）

$f \in k[x, y]$ を既約多項式、$C = \operatorname{Spec} k[x, y]/(f)$ とします。$\Omega_{C/k}$ は $dx, dy$ で生成され、関係式は $f_x\,dx + f_y\,dy = 0$ だけです（系 5.3［Kähler 微分と滑らかさの入口］）。閉点 $P = (a, b)$ で $\varphi(P) = 2 - \operatorname{rank}(f_x(P), f_y(P))$ なので、$P$ が特異点であることは

$$f(P) = 0, \qquad f_x(P) = 0, \qquad f_y(P) = 0$$

と同値です。例 3.2 の二つの曲線では、$\varphi$ は原点で $2$、ほかの点で $1$ です。尖点 $y^2 = x^3$ では $\Omega_{C/k}$ は原点で自由でなく、$\theta = 3y\,dx - 2x\,dy$ は $y\theta = 3x^3\,dx - 2xy\,dy = x(3x^2\,dx - 2y\,dy) = 0$ を満たす $0$ でない元（捩れ元）です（例 5.4［Kähler 微分と滑らかさの入口］ で $\theta \ne 0$ を確かめています）。

注意 7.6（完全体でない体の上では正則と滑らかがずれる）

$k_0 = \mathbb{F}_p(t)$ 上の $X = \operatorname{Spec} k_0[x]/(x^p - t)$ は体 $k_0(t^{1/p})$ の $\operatorname{Spec}$ で、次元 $0$ の正則スキームです。しかし $d(x^p - t) = 0$ なので $\Omega_{X/k_0}$ は $dx$ を基底とする階数 $1$ の自由加群で、階数は次元 $0$ と一致しません。完全体でない体の上では、「局所環が正則」と「$\Omega$ が階数 $\dim X$ の局所自由層」（こちらを滑らかという）は別の条件です。この記事では $k$ を代数閉体としているので、両者は一致します。

8. 射影空間の Euler 完全列

定理 8.1（Euler 完全列と射影空間の標準層）✓

$A$ を環、$n \ge 1$、$S = A[x_0, \ldots, x_n]$、$X = \mathbb{P}^n_A$ とする。$\mathcal{O}_X$ 加群の完全列

$$0 \longrightarrow \Omega_{X/A} \longrightarrow \mathcal{O}_X(-1)^{\oplus(n+1)} \xrightarrow{\ \theta\ } \mathcal{O}_X \longrightarrow 0, \qquad \theta(s_0, \ldots, s_n) = \sum_{i=0}^{n} x_i s_i$$

がある。$\Omega_{X/A}$ は階数 $n$ の局所自由層で、$\det\Omega_{X/A} \cong \mathcal{O}_X(-n-1)$ である。とくに代数閉体 $k$ について $\mathbb{P}^n_k$ は非特異多様体で、$\omega_{\mathbb{P}^n_k} \cong \mathcal{O}(-n-1)$、$p_g(\mathbb{P}^n_k) = 0$ である。

証明（定理 8.1）

次数加群の列。 $E = S(-1)^{\oplus(n+1)}$ とし、その基底を $e_0, \ldots, e_n$（次数 $1$）とします。$\theta\colon E \to S$、$e_i \mapsto x_i$ は次数を保つ準同型です。$M = \ker\theta$、$Q = \operatorname{coker}\theta = S/(x_0, \ldots, x_n)$ とおきます。$Q$ には各 $x_i$ が $0$ として作用するので $Q_{(x_i)} = 0$、したがって $\widetilde{Q} = 0$ です。$\widetilde{\ \cdot\ }$ は完全で有限直和と交換するので、$0 \to \widetilde{M} \to \mathcal{O}_X(-1)^{\oplus(n+1)} \to \mathcal{O}_X \to 0$ は完全です。同型 $\Omega_{X/A} \cong \widetilde{M}$ を作ります。

導分。 $d\colon S \to E$、$dF = \sum_j (\partial F/\partial x_j)\,e_j$ は $A$ 導分です（補題 2.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の 4）。$F$ が $q$ 次斉次なら $dF$ も $q$ 次斉次で、単項式で確かめられる Euler の恒等式 $\sum_j x_j\,\partial F/\partial x_j = qF$ により

$$\theta(dF) = qF$$

です。$h$ を次数 $c > 0$ の斉次元とします。$d$ は $A$ 導分 $d_h\colon S_h \to E_h$ にただ一通りに延び（補題 4.1［Kähler 微分と滑らかさの入口］）、$d_h(F/h^m) = (h^m\,dF - F\,d(h^m))/h^{2m}$ です。$d_h$ は次数を保つので、$0$ 次部分に制限して $A$ 導分 $D_h\colon S_{(h)} \to E_{(h)}$ が得られます。$F$ が $mc$ 次斉次のとき

$$\theta\bigl(d_h(F/h^m)\bigr) = \frac{h^m \cdot mc\,F - F \cdot mc\,h^m}{h^{2m}} = 0$$

なので、$D_h$ の像は $M_{(h)} = \ker(E_{(h)} \to S_{(h)})$ に入ります。Kähler 微分加群の普遍性（定理 2.5［Kähler 微分と滑らかさの入口］）により、$S_{(h)}$ 線形写像 $\lambda_h\colon \Omega_{S_{(h)}/A} \to M_{(h)}$ で $\lambda_h \circ d = D_h$ となるものがただ一つあります。延長の一意性から $D_{hh'}$ の $S_{(h)}$ への制限は $D_h$ なので、$\lambda_h$ は $D_{+}(hh') \subseteq D_{+}(h)$ への制限と両立し、定理 5.2 の 1 により射 $\lambda\colon \Omega_{X/A} \to \widetilde{M}$ を定めます。

$\lambda$ は同型。 $h = x_i$ とします。$S_{(x_i)}$ は $x_j/x_i$（$j \ne i$）を変数とする多項式環なので、$\Omega_{S_{(x_i)}/A}$ は $d(x_j/x_i)$（$j \ne i$）を基底とする自由加群です（命題 4.2［Kähler 微分と滑らかさの入口］ の 1）。一方 $E_{(x_i)}$ は $e_j/x_i$（$0 \le j \le n$）を基底とする自由 $S_{(x_i)}$ 加群で、$\theta(e_j/x_i) = x_j/x_i$、とくに $\theta(e_i/x_i) = 1$ です。

$$m_j = \frac{e_j}{x_i} - \frac{x_j}{x_i}\cdot\frac{e_i}{x_i} \qquad (j \ne i)$$

とおくと、$e_i/x_i$ と $m_j$（$j \ne i$）は $E_{(x_i)}$ の基底で、$\theta(m_j) = 0$ です。$\sum_{j \ne i} c_j m_j + c\,(e_i/x_i)$ の $\theta$ による像は $c$ なので、$M_{(x_i)}$ は $m_j$（$j \ne i$）を基底とする自由加群です。そして

$$\lambda_{x_i}\bigl(d(x_j/x_i)\bigr) = D_{x_i}(x_j/x_i) = \frac{x_i e_j - x_j e_i}{x_i^2} = m_j$$

なので、$\lambda_{x_i}$ は基底を基底に写す同型です。$D_{+}(x_i)$ は $X$ を覆うので $\lambda$ は同型です。

階数と行列式。 上の計算から $\Omega_{X/A}$ は階数 $n$ の局所自由層です。完全列に 補題 6.2 の 3 を使うと

$$\det\Omega_{X/A} \cong \det\Omega_{X/A} \otimes \det\mathcal{O}_X \cong \det\bigl(\mathcal{O}_X(-1)^{\oplus(n+1)}\bigr) \cong \mathcal{O}_X(-1)^{\otimes(n+1)} \cong \mathcal{O}_X(-n-1)$$

です（最後は 定理 8.3［準連接層・連接層と直線束］ の 2）。

$A = k$ の場合。 $\mathbb{P}^n_k$ は、どの二つも交わる整な開集合 $D_{+}(x_i) \cong \mathbb{A}^n_k$ で覆われるので整で、$k$ 上分離的かつ有限型なので（定理 7.3［分離射・固有射と付値判定法］）、$n$ 次元の多様体です。$\Omega$ が階数 $n$ の局所自由層なので、定理 7.3 の 3 により非特異です。$n + 1 > 0$ なので $\Gamma(\mathbb{P}^n_k, \mathcal{O}(-n-1)) = 0$ で（定理 8.3［準連接層・連接層と直線束］ の 3）、$p_g = 0$ です。

∎

Euler 完全列の中央の項 $\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}$ は、形式的な記号 $dx_0, \ldots, dx_n$ を基底とする層です。$dx_j$ そのものは $\mathbb{P}^n$ 上の微分形式ではありませんが、$\theta$ の核に入る組み合わせ $x_i\,dx_j - x_j\,dx_i$ を $x_i^2$ で割ったものが、アフィン座標の微分 $d(x_j/x_i)$ です。

9. 非特異な部分多様体と随伴公式

定理 9.1（非特異な部分多様体の余法層と随伴公式）✓

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の $n$ 次元の非特異多様体、$i\colon Y \to X$ を閉はめ込みで $Y$ が整であるもの（閉部分多様体）とし、$\mathcal{I}$ をそのイデアル層、$m = \dim Y$、$r = n - m$ とする。

1. 次は同値である。(a) $Y$ は非特異である。(b) $\Omega_{Y/k}$ は局所自由層である。(c) $\Omega_{Y/k}$ は局所自由層で、第二完全列は左でも完全である。すなわち $$0 \longrightarrow \mathcal{C}_{Y/X} \xrightarrow{\ \delta\ } i^{*}\Omega_{X/k} \longrightarrow \Omega_{Y/k} \longrightarrow 0$$ は完全である。
2. $Y$ が非特異なら、余法層 $\mathcal{C}_{Y/X}$ は階数 $r$ の局所自由層で、$Y$ の各点は、$\mathcal{I}$ が $r$ 個の切断で生成されるような $X$ の開近傍をもつ。
3. （随伴公式）$Y$ が非特異なら $\omega_Y \cong i^{*}\omega_X \otimes \det\mathcal{N}_{Y/X}$ である。$r = 1$ のとき、$\mathcal{I}$ は可逆層で、$\mathcal{O}_X(Y) = \mathcal{I}^{\vee}$ と書くと $\omega_Y \cong i^{*}(\omega_X \otimes \mathcal{O}_X(Y))$ である。

証明（定理 9.1）

$Y$ は $k$ 上の多様体です（定理 2.4 の 3）。

(b) ⇒ (a)。 $\Omega_{Y/k}$ が階数 $q$ の局所自由層なら、$Y$ の生成点での階数も $q$ で、定理 7.3 の 2 により $q = m$ です。同 3 により $Y$ は非特異です。(a) ⇒ (b) も同 3 で、(c) ⇒ (b) は自明です。以下 $Y$ が非特異であるとして (c)、2、3 を示します。

核は局所自由。 $i^{*}\Omega_{X/k}$ は階数 $n$（補題 6.2 の 4）、$\Omega_{Y/k}$ は階数 $m$ の局所自由層です。全射 $w\colon i^{*}\Omega_{X/k} \to \Omega_{Y/k}$ の核を $\mathcal{K}$ とします。各点 $y$ で $\Omega_{Y,y}$ は自由なので $w_y$ は分裂し、$\mathcal{K}_y \oplus \mathcal{O}_{Y,y}^{m} \cong \mathcal{O}_{Y,y}^{n}$ です。$\mathcal{K}_y$ は自由加群の直和因子なので有限生成射影加群で、局所環上では自由です（定理 5.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。剰余体をテンソルすると階数は $r$ です。$\mathcal{K}$ は連接なので、階数 $r$ の局所自由層です（定理 7.3［準連接層・連接層と直線束］）。第二完全列（定理 5.3）により $\delta\colon \mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{K}$ は全射です。

閉点でのイデアルの生成元。 $y \in Y$ を閉点、$R = \mathcal{O}_{X,y}$、$\mathfrak{m}$ をその極大イデアル、$I = \mathcal{I}_y$ とします。$R$ は次元 $n$ の正則局所環、$R/I = \mathcal{O}_{Y,y}$ は次元 $m$ の正則局所環です（次元は 定理 2.4 の 2）。全射 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \to (\mathfrak{m}/I)/(\mathfrak{m}/I)^2$ の核は $(I + \mathfrak{m}^2)/\mathfrak{m}^2$ で、次元は $n - m = r$ です。$a_1, \ldots, a_r \in I$ を、像がこの核の基底になるように取ります。$a_1, \ldots, a_r$ は $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で一次独立なので、命題 6.4［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］ の 1 を順に使うと、$R' = R/(a_1, \ldots, a_r)$ は次元 $n - r = m$ の正則局所環です（$R/(a_1, \ldots, a_{j})$ の極大イデアルを $\mathfrak{m}_j$ とすると、$\mathfrak{m}_j/\mathfrak{m}_j^2 = \mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2 + (a_1, \ldots, a_j))$ の中で $a_{j+1}$ の像は $0$ でないからです）。$R'$ は整域です（定理 6.3［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。全射 $R' \to R/I$ の核 $Q$ は素イデアルで、$\dim R'/Q = m = \dim R'$ なので $\operatorname{ht} Q = 0$ です（命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の 3）。整域の高さ $0$ の素イデアルは $0$ なので $Q = 0$、すなわち $I = (a_1, \ldots, a_r)$ です。

$\delta$ は単射。 閉点 $y$ で、$(\mathcal{C}_{Y/X})_y = I/I^2$ は $r$ 個の元で生成されるので、全射 $\pi\colon \mathcal{O}_{Y,y}^{r} \to (\mathcal{C}_{Y/X})_y$ があります。$\delta_y \circ \pi$ は $\mathcal{O}_{Y,y}^{r}$ から $\mathcal{K}_y \cong \mathcal{O}_{Y,y}^{r}$ への全射で、有限生成加群の全射自己準同型は同型なので（定理 3.7［加群・完全列・中山の補題］）、$\delta_y \circ \pi$ は同型、したがって $\pi$ は単射で、$\delta_y$ は同型です。連接層 $\ker\delta$ はすべての閉点で茎が $0$ なので、その台は閉点を含まない閉集合で（補題 7.2［準連接層・連接層と直線束］ の 1）、空です（補題 2.3 の 2）。よって $\delta$ は単射で、$\mathcal{C}_{Y/X} \cong \mathcal{K}$ は階数 $r$ の局所自由層、(c) の列は完全です。

(2) の後半。 閉点 $y$ で $\mathcal{I}_y = (a_1, \ldots, a_r)$ なので、$a_i$ を $y$ の近傍の切断に取ると、補題 7.2［準連接層・連接層と直線束］ の 2 により $y$ の開近傍 $U \subseteq X$ の上で $a_i$ は $\mathcal{I}$ を生成します。$Y$ の任意の点は $Y$ の閉点へ特殊化し、その閉点の開近傍に属します。

(3) (c) の完全列に 補題 6.2 の 3、4 を使うと

$$i^{*}\omega_X \cong \det(i^{*}\Omega_{X/k}) \cong \det\mathcal{C}_{Y/X} \otimes \omega_Y$$

です。$(\det\mathcal{C}_{Y/X})^{\vee} \cong \det(\mathcal{C}_{Y/X}^{\vee}) = \det\mathcal{N}_{Y/X}$ をテンソルして（補題 6.2 の 5）、$\omega_Y \cong i^{*}\omega_X \otimes \det\mathcal{N}_{Y/X}$ を得ます。

$r = 1$ のとき、(2) により $\mathcal{I}$ は局所的に 1 個の切断 $a$ で生成されます。$Y \ne X$ なので $a \ne 0$ で、$X$ は整なので $a$ 倍 $\mathcal{O}_U \to \mathcal{I}|_U$ は同型です。$Y$ と交わらない開集合の上では $\mathcal{I} = \mathcal{O}_X$ です。よって $\mathcal{I}$ は可逆層です。$\mathcal{C}_{Y/X} = i^{*}\mathcal{I}$ なので $\mathcal{N}_{Y/X} = (i^{*}\mathcal{I})^{\vee} \cong i^{*}(\mathcal{I}^{\vee}) = i^{*}\mathcal{O}_X(Y)$ で（補題 6.2 の 4）、階数 $1$ なので $\det\mathcal{N}_{Y/X} = \mathcal{N}_{Y/X}$ です。$i^{*}$ はテンソル積と交換するので $\omega_Y \cong i^{*}\omega_X \otimes i^{*}\mathcal{O}_X(Y) \cong i^{*}(\omega_X \otimes \mathcal{O}_X(Y))$ です。

∎

(2) は陰関数定理の代数版です。非特異な部分多様体は、局所的には余次元と同じ個数の方程式で、しかもその微分が一次独立になるように定義されます。例 9.4［準連接層・連接層と直線束］ のねじれ 3 次曲線が「局所的には 2 個の式」で書けたのはこのためです。

例 9.2（射影空間の非特異超曲面の標準層）

$F \in S = k[x_0, \ldots, x_n]$（$n \ge 2$）を $d$ 次の既約な斉次多項式とし、$Y = \operatorname{Proj} S/(F) \subseteq X = \mathbb{P}^n_k$ が非特異であるとします。$Y$ は $n - 1$ 次元の多様体です。$F$ 倍 $S(-d) \to S$ は像が $(F)$ の単射なので、$\mathcal{I}_Y = \widetilde{(F)} \cong \mathcal{O}_X(-d)$、$\mathcal{O}_X(Y) \cong \mathcal{O}_X(d)$ です。定理 9.1 の 3 と 定理 8.1 により

$$\omega_Y \cong i^{*}\bigl(\mathcal{O}_X(-n-1) \otimes \mathcal{O}_X(d)\bigr) = \mathcal{O}_Y(d - n - 1)$$

です。

• 平面 3 次曲線（$n = 2$、$d = 3$）では $\omega_Y \cong \mathcal{O}_Y$ で、$p_g = \dim_k\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = 1$ です（完備多様体の大域正則関数は定数。定理 8.3［分離射・固有射と付値判定法］）。$\mathbb{P}^1_k$ の $p_g$ は $0$ なので（定理 8.1）、非特異な平面 3 次曲線は $\mathbb{P}^1_k$ と同型ではありません。
• $\mathbb{P}^3_k$ の非特異 4 次曲面（$d = 4$）でも $\omega_Y \cong \mathcal{O}_Y$ です。
• $d \le n$ なら $\omega_Y$ は $\mathcal{O}_Y(1)$ の負冪、$d \ge n + 2$ なら正冪です。

非特異性は Jacobi 判定法で確かめられます。たとえば $k$ の標数が $d$ を割らないとき、Fermat 超曲面 $F = x_0^d + \cdots + x_n^d$ は非特異です。$D_{+}(x_0)$ の上で $u_j = x_j/x_0$ とおくと、$Y$ は $1 + u_1^d + \cdots + u_n^d = 0$ で定まり、偏導関数 $d\,u_j^{d-1}$ がすべて消える点は原点だけで、原点はこの超曲面の上にありません。ほかの $D_{+}(x_i)$ でも同じです。

10. 非特異曲線

命題 10.1（非特異曲線の局所環と有理写像の延長）✓

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の非特異曲線（次元 $1$ の非特異多様体）とする。

1. 閉点 $x \in X$ での局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ は離散付値環で、その商体は $K(X)$ である。
2. $U \subseteq X$ を空でない開集合、$Y$ を $k$ 上固有なスキーム（たとえば射影多様体）、$f\colon U \to Y$ を $k$ 上の射とする。このとき $f$ は $k$ 上の射 $X \to Y$ にただ一通りに延びる。

証明（命題 10.1）

(1) $\mathcal{O}_{X,x}$ は次元 $1$ の正則局所環（定理 2.4 の 2）で整域なので、$\dim_k \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 = 1$ を満たす次元 $1$ の Noether 局所整域です。定理 3.4［離散付値環と Dedekind 環］ により離散付値環です。

(2) 一意性。 $Y$ は $k$ 上分離的で $X$ は被約、$U$ は稠密なので、延長は高々一つです（命題 8.2［分離射・固有射と付値判定法］）。

$X \setminus U$ は有限個の閉点。 $X \setminus U$ は Noether 空間の閉集合なので有限個の既約成分をもち（命題 3.4［アフィン代数多様体と座標環］）、各成分 $Z$ は $X$ と異なる既約閉集合なので、定理 2.4 の 3 により $\dim Z = 0$ です。$Z$ は閉点 $z$ を含み、$\{z\} \subsetneq Z$ なら次元が $1$ 以上になるので $Z = \{z\}$ です。

したがって、$x \in X \setminus U$ を一つ取り、$x$ の開近傍 $W$ と $U \cup W$ への延長を作れば、これを有限回繰り返して $X$ への延長が得られます。

付値判定法。 $V = \mathcal{O}_{X,x}$、$K = K(X)$ とし、$j\colon \operatorname{Spec} K \to \operatorname{Spec} V$ を包含が定める射とします。生成点 $\eta$ は $U$ に属するので、標準射 $\operatorname{Spec} K \to U$ と $f$ の合成 $a\colon \operatorname{Spec} K \to Y$ が定まります。$Y \to \operatorname{Spec} k$ は固有なので、固有性の付値判定法（定理 5.4［分離射・固有射と付値判定法］ の 1 ⇒ 2）により、$k$ 上の射 $h\colon \operatorname{Spec} V \to Y$ で $h \circ j = a$ となるものがあります。

近傍への延長。 $h$ による閉点の像 $y$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} C \subseteq Y$ を取ります。$\operatorname{Spec} V$ の閉点を含む開集合は全体なので、$h$ は $\operatorname{Spec} C$ を経由し、$k$ 代数の準同型 $\gamma\colon C \to V$ に対応します。$x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec} B \subseteq X$ を取り、$x$ に対応する極大イデアルを $\mathfrak{n}$ とすると、$K$ の中で $B \subseteq B_{\mathfrak{n}} = V$ です。$C$ は有限生成 $k$ 代数で、生成元 $c_1, \ldots, c_N$ の像を $\gamma(c_l) = b_l/s_l$（$b_l \in B$、$s_l \in B \setminus \mathfrak{n}$）と書き、$s = s_1 \cdots s_N$ とおくと、$\gamma(C) \subseteq B_s$ です。よって $\gamma$ は $C \to B_s$ を経由し、$x$ の開近傍 $W = \operatorname{Spec} B_s$ からの射 $g\colon W \to \operatorname{Spec} C \subseteq Y$ が得られます。

$f$ と $g$ は $U \cap W$ の上で一致する。 $g$ と標準射 $\operatorname{Spec} K \to W$ の合成は $C \to B_s \subseteq K$、すなわち $\gamma$ と $V \subseteq K$ の合成に対応するので $h \circ j = a$ に等しく、$f$ と $\operatorname{Spec} K \to U$ の合成も $a$ です。$f|_{U \cap W}$ と $g|_{U \cap W}$ の等化子 $E \to U \cap W$ は閉はめ込みで（$Y$ は $k$ 上分離的。補題 6.1［分離射・固有射と付値判定法］ の 4）、$\operatorname{Spec} K \to U \cap W$ は $E$ を経由します。よって $E$ の像は生成点を含む閉集合で、$U \cap W$ 全体です。$U \cap W$ は被約なので $E \to U \cap W$ は同型で（補題 2.4［分離射・固有射と付値判定法］）、$f|_{U \cap W} = g|_{U \cap W}$ です。

$f$ と $g$ は貼り合わさって $U \cup W$ からの射を与えます（定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］）。

∎

(2) は次元 $2$ 以上では成り立ちません。$\mathbb{A}^2_k \setminus \{0\} \to \mathbb{P}^1_k$、$(x, y) \mapsto [x : y]$ は原点に延びません。原点を通る直線ごとに、原点での極限が異なるからです。曲線では「点の近傍から 1 点を抜いたもの」が離散付値環の商体の $\operatorname{Spec}$ で近似でき、付値判定法がそのまま使えます。この命題から、代数幾何 II で扱うように、非特異な射影曲線は関数体で決まります。

11. 演習

演習 11.1標準

$k$ を標数が $2$ でない代数閉体、$\lambda \in k$ とし、$C_\lambda = \operatorname{Spec} k[x, y]/(y^2 - x(x - 1)(x - \lambda))$ とします。$C_\lambda$ が非特異であるための $\lambda$ の条件を求め、特異な場合に特異点を求めてください。

解答

$g(x) = x(x-1)(x-\lambda)$、$f = y^2 - g(x)$ とします。$g$ は奇数次なので平方ではなく、$f$ は既約で、$C_\lambda$ は曲線です。例 7.5 により、特異点は $f = f_x = f_y = 0$ の解です。$f_y = 2y = 0$ から $y = 0$、すると $f = 0$ は $g(x) = 0$、$f_x = 0$ は $g'(x) = 0$ となります。$g(x) = g'(x) = 0$ は $x$ が $g$ の重根であることと同値です。$g$ の根は $0, 1, \lambda$ なので、重根があるのは $\lambda = 0$（重根 $x = 0$）か $\lambda = 1$（重根 $x = 1$）のときです。

よって $C_\lambda$ は $\lambda \ne 0, 1$ のとき非特異で、$\lambda = 0$ のとき特異点は $(0, 0)$（$y^2 = x^2(x - 1)$ の結節点）、$\lambda = 1$ のとき特異点は $(1, 0)$ です。

演習 11.2標準

$k$ を代数閉体、$C = \operatorname{Spec} A$、$A = k[x, y]/(y^3 - x^4)$ とします。$A \cong k[t^3, t^4]$ を示し、$C$ の正規化を求めてください。また原点での Zariski 接空間の次元を求めてください。

解答

$\psi\colon A \to k[t]$ を $x \mapsto t^3$、$y \mapsto t^4$ で定めます（$y^3 - x^4 \mapsto t^{12} - t^{12} = 0$）。$A$ は $k[x]$ 加群として $1, y, y^2$ で生成され、

$$\psi\bigl(p_0(x) + p_1(x)y + p_2(x)y^2\bigr) = p_0(t^3) + p_1(t^3)t^4 + p_2(t^3)t^8$$

の三つの項は、$t$ の指数を $3$ で割った余りがそれぞれ $0, 1, 2$ の単項式だけからなります。よって像が $0$ なら $p_0 = p_1 = p_2 = 0$ で、$\psi$ は単射、$A \cong k[t^3, t^4]$ は整域です。

$t = y/x \in \operatorname{Frac} A$ で、$t^3 = x$ なので $t$ は $A$ 上整です。$\operatorname{Frac} A = k(t)$ で、$k[t]$ は整閉なので、正規化は $k[t]$、$\nu\colon \mathbb{A}^1_k \to C$ は $t \mapsto (t^3, t^4)$ です（定理 4.2 の 2）。$\nu$ は有限射で、閉点の全単射です（$x \ne 0$ なら $t = y/x$、$x = 0$ なら $t = 0$）。

原点 $\mathfrak{m} = (x, y)$ で $y^3 - x^4 \in \mathfrak{m}^2$ なので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $2$ 次元で、接空間は $2$ 次元です。$C$ は原点で特異で、ほかの点では $f_x = -4x^3$、$f_y = 3y^2$ のどちらかが $0$ でないので（標数が $2$ か $3$ でも、曲線上の原点以外の点では $x \ne 0$ かつ $y \ne 0$ で、少なくとも一方の係数が $0$ でない）正則です。

演習 11.3易

$k$ を標数が $2$ でない代数閉体、$C = \operatorname{Spec} k[x, y]/(y^2 - x^2(x+1))$ とします。各閉点 $P$ で $\varphi(P) = \dim_k \Omega_{C/k} \otimes \kappa(P)$ を求め、$\Omega_{C/k}$ が局所自由でないことを示してください。

解答

$f = y^2 - x^2(x+1)$、$f_x = -3x^2 - 2x$、$f_y = 2y$ です。例 7.5 により $\varphi(P) = 2 - \operatorname{rank}(f_x(P), f_y(P))$ です。原点では $f_x = f_y = 0$ なので $\varphi = 2$ です。例 3.2 で見たように、曲線上のほかの閉点では $(f_x, f_y) \ne (0, 0)$ なので $\varphi = 1$ です。

$\Omega_{C/k}$ が局所自由なら、$C$ は連結なので階数は一定で、$\varphi$ は定数のはずです。$\varphi$ は原点で $2$、ほかで $1$ なので、$\Omega_{C/k}$ は局所自由でありません。定理 7.3 のとおり、$\varphi$ が $\dim C = 1$ より大きい原点が特異点です。

演習 11.4難

$k$ を代数閉体、$n \ge 3$ とします。$X \subseteq \mathbb{P}^n_k$ を $d_1$ 次の非特異超曲面、$F_2$ を $d_2$ 次の斉次多項式とし、$X$ の中で $F_2 = 0$ が定める閉部分スキーム $Y$ が、$n - 2$ 次元の非特異多様体であるとします。$\omega_Y \cong \mathcal{O}_Y(d_1 + d_2 - n - 1)$ を示してください。$\mathbb{P}^3_k$ の中の二つの 2 次曲面の交わりが非特異曲線であるとき、その標準層は何ですか。

解答

$j\colon X \to \mathbb{P}^n_k$ を閉はめ込みとし、$\mathcal{O}_X(a) = j^{*}\mathcal{O}(a)$ と書きます。$j^{*}$ はテンソル積と交換するので $\mathcal{O}_X(a) \otimes \mathcal{O}_X(b) \cong \mathcal{O}_X(a + b)$ です（補題 6.2 の 4）。例 9.2 により $\omega_X \cong \mathcal{O}_X(d_1 - n - 1)$ です。

$F_2$ は $\mathcal{O}(d_2)$ の大域切断で、その引き戻しは $\mathcal{O}_X(d_2)$ の切断 $s$ です。$Y$ のイデアル層 $\mathcal{I} \subseteq \mathcal{O}_X$ は、$s$ 倍 $\mathcal{O}_X(-d_2) \to \mathcal{O}_X$ の像です（$D_{+}(x_i) \cap X$ の上で $F_2/x_i^{d_2}$ が生成するイデアル）。$Y \ne X$ なので $s \ne 0$ で、$X$ は整なので $s$ 倍は単射です。よって $\mathcal{I} \cong \mathcal{O}_X(-d_2)$、$\mathcal{O}_X(Y) \cong \mathcal{O}_X(d_2)$ です。

$Y$ は非特異多様体 $X$ の余次元 $1$ の非特異な閉部分多様体なので、定理 9.1 の 3 により

$$\omega_Y \cong \bigl(\omega_X \otimes \mathcal{O}_X(Y)\bigr)\big|_Y \cong \mathcal{O}_X(d_1 - n - 1 + d_2)\big|_Y = \mathcal{O}_Y(d_1 + d_2 - n - 1)$$

です。$n = 3$、$d_1 = d_2 = 2$ のとき $\omega_Y \cong \mathcal{O}_Y$ で、$p_g = \dim_k \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = 1$ です。非特異な平面 3 次曲線と同じく、標準層が自明な曲線（楕円曲線）です。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — 第 I 章 §5（非特異多様体）・§6（非特異曲線）、第 II 章 §8（微分の層、Euler 完全列、随伴公式）。
• 松村英之『可換環論』共立出版、1980 — 導分と微分加群、分離生成、正則局所環の章。英訳は H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, Cambridge University Press, 1986。
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics 6, Oxford University Press, 2002 — 第 4 章（正規スキーム・正則スキーム）、第 6 章（微分の層と標準層）。
• U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I: Schemes, Vieweg+Teubner, 2010 — 第 5 章（体上のスキームと次元）、第 6 章（接空間・滑らかさ・正規性）。
• D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Lecture Notes in Mathematics 1358, Springer, 1988 — 第 III 章（局所的性質：接錐、非特異性、正規性）。
• The Stacks Project Authors, The Stacks Project — Varieties の章、Morphisms of Schemes の章（微分の層・正規化）。