外冪・行列式層

$A$ を環、$M$ を $A$ 加群、$r \ge 1$ とする。$M^{\otimes r}$ を、ある $i \ne j$ で $m_i = m_j$ となる $m_1 \otimes \cdots \otimes m_r$ の全体が生成する部分加群で割った加群を $\bigwedge^r M$ と書き、$m_1 \otimes \cdots \otimes m_r$ の像を $m_1 \wedge \cdots \wedge m_r$ と書く。$\bigwedge^0 M = A$ とする。

環付き空間 $X$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ について、前層 $U \mapsto \bigwedge^r_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{F}(U)$ の層化を $\bigwedge^r\mathcal{F}$ と書く。階数 $n$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $\det\mathcal{E} = \bigwedge^n\mathcal{E}$ を行列式層という。