数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 次元・正規性・非特異性と微分の層

ファイバーの次元が生成点と等しければ局所自由

補題 7.2（「次元・正規性・非特異性と微分の層」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を Noether 整スキーム、 $\eta$ を生成点、 $\mathcal{F}$ を連接層、 $x \in X$ とする。 $\dim_{\kappa(x)}\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x) = \dim_{K(X)}\mathcal{F}_\eta = r$ ならば、 $x$ の開近傍 $W$ で $\mathcal{F}|_W \cong \mathcal{O}_W^{\oplus r}$ となるものがある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 104 件、定義なども含めて 129 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
    M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
    加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
    アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
    局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
    テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
    開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
    M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
    局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
    層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
    テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
    テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
    係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
    有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
    圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
  - 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
    大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
    M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏
    元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
    行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 2 件

非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
特異点の全体は真の閉集合✓系 7.4・次元・正規性・非特異性と微分の層

ファイバーの次元が生成点と等しければ局所自由

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件