正則局所環の剰余

命題 6.4（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、 $d = \dim A$ 、 $x \in \mathfrak{m}$ とする。

$A$ が正則で $x \notin \mathfrak{m}^2$ なら、 $x$ は $A$ の零因子でなく、 $A/xA$ は次元 $d - 1$ の正則局所環である。
逆に $x$ が $A$ の零因子でなく $A/xA$ が正則なら、 $A$ は正則で $x \notin \mathfrak{m}^2$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 135 件、定義なども含めて 157 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
  - 重複度の基本性質✓命題 5.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
- 随伴次数加群定義 2.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
- 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
爆発と算術種数✓系 7.4・曲面上の交叉理論
正則局所環は CM✓系 6.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

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