正則局所環は CM

系 6.5（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m})$ を正則局所環、 $x_1, \ldots, x_d$ を正則パラメータ系とする。 $x_1, \ldots, x_d$ は正則列で、各 $r$ について $A/(x_1, \ldots, x_r)$ は次元 $d - r$ の正則局所環である。とくに $A$ は Cohen–Macaulay である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 136 件、定義なども含めて 158 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - 正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  - 局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
  - 随伴次数加群定義 2.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ
  - 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
  - Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
  - 深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- CM 局所環の随伴素イデアル✓補題 3.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - 深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
  - Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 正則列で割った環✓命題 3.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
  - 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

曲面の Riemann–Roch✓定理 4.1・曲面上の交叉理論
局所完全交叉の双対化層✓定理 7.3・Ext 層と Serre 双対
完全交叉は CM✓命題 6.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
F 有限な正則局所環の Frobenius✓命題 10.3・Kähler 微分と滑らかさの入口

正則局所環は CM

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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