数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環

正則列で割った環

命題 3.4（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 123 件、定義なども含めて 142 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

      • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

    • 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
  • 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

    • 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
  • 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

    • δ(A) とパラメータ系定義 5.1・Krull 次元と単項イデアル定理
    • Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
    • 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    • 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
    • Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
  • 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理

    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
• 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ

  • 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ

    • ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
    • 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
    • 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル

      • 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
    • 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  • Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ

    • テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    • 平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    • Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
    • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • 深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さ この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• CM 性の局所化✓命題 3.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 非混合定理✓定理 3.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 完全交叉は CM✓命題 6.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環