数学 › 可換環論 › テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性

定理 5.2（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

      • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  • 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
• 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
• 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題

    • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
  • Schanuel の補題✓補題 5.6・加群・完全列・中山の補題

    • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    • 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換

    • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
  • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題

    • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
• 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題

    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題

    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
• 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題

  • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  • 五項補題（加群）✓系 4.2・加群・完全列・中山の補題

    • 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
• 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
• 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題

  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束
• Dedekind 環上の有限生成加群✓命題 10.3・離散付値環と Dedekind 環