局所自由性の判定

定理 7.3（「準連接層・連接層と直線束」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を局所 Noether スキーム、 $\mathcal{F}$ を連接層とする。次は同値である。

$\mathcal{F}$ は各点の近傍で有限階数の自由加群 $\mathcal{O}^{\oplus r}$ と同型である。
すべての点 $x$ で茎 $\mathcal{F}_x$ は自由 $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群である。
すべてのアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について、 $\Gamma(U, \mathcal{F})$ は有限生成射影 $A$ 加群である。

このとき $x \mapsto \operatorname{rank}_{\mathcal{O}_{X,x}}\mathcal{F}_x$ は局所定数関数で、 $X$ が連結なら一定であり、 $\mathcal{F}$ はその階数の局所自由層である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 121 件、定義なども含めて 147 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
  - 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
有限射影加群の階数定義 5.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

これを使っている定理証明で参照している 3 件

非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
局所自由層の Riemann–Roch✓命題 8.2・曲線と Riemann–Roch の定理

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