数学 › 可換環論 › テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

局所環上の有限射影加群は自由

定理 5.1（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題

  • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換

    • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換

      • 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
• Schanuel の補題✓補題 5.6・加群・完全列・中山の補題

  • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題

    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
• 平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
    • Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

      • テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
    • Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題

    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  • 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
• テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
• 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換

  • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換

    • 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換

    • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
• 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題

  • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題

    • 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  • 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    • 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
• 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

  • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  • 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

    • テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  • 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題

    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
    • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• 非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
• 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
• F 有限な正則局所環の Frobenius✓命題 10.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
• 有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

関連するノック 2 問

• 可換環論 第 23 問
• 可換環論 第 25 問