数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

Euler 標数の加法性

命題 7.2（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§7）・ ✓公理まで証明済み

体 $k$ 上の射影スキーム $X$ の連接層の完全列 $0 \to \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \to \cdots \to \mathcal F_m \to 0$ について $\sum_{j} (-1)^j\chi(\mathcal F_j) = 0$ である。とくに短完全列 $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ について $\chi(\mathcal F) = \chi(\mathcal F') + \chi(\mathcal F'')$ である。また閉はめ込み $\iota\colon X \to \mathbb P^r_k$ について $\chi(\mathcal F) = \chi(\iota_*\mathcal F)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 165 件、定義なども含めて 201 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環
- 加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
- 次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
    開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
  - テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
  - 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジー
- 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジーこの先をたどる →
- アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジーこの先をたどる →
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジーこの先をたどる →
- 開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジーこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式✓系 7.8・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
点を足すと Euler 標数が 1 増える✓補題 6.3・曲線と Riemann–Roch の定理

Euler 標数の加法性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件