数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式

系 7.8（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§7）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を代数閉体、 $S = k[x_0, \ldots, x_r]$ とする。

$0$ でない $d$ 次斉次式 $f$ （ $d \ge 1$ ）の定める超曲面 $X = V_+(f) \subseteq \mathbb P^r_k$ について $P_X(n) = \binom{n+r}{r} - \binom{n+r-d}{r}$ で、 $\deg X = d$ である。
$r = 2$ のとき（次数 $d$ の平面曲線）、 $P_X(n) = dn + 1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ 、 $p_a(X) = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ である。
斉次式 $f_1, \ldots, f_c$ （次数 $d_1, \ldots, d_c \ge 1$ ）が $S$ の正則列（定義 7.1［Tor・Ext と深さ］）であるとき、完全交叉 $X = V_+(f_1, \ldots, f_c)$ について $P_X(n) = \sum_{J \subseteq \{1, \ldots, c\}} (-1)^{|J|}\binom{n + r - d_J}{r}, \qquad d_J = \sum_{j \in J} d_j$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 339 件、定義なども含めて 390 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影空間上の O(n) の Euler 標数✓補題 7.3・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
    Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 係数系の Čech 複体✓補題 3.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環
  - 加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
  - 次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束
  - 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジー
  - 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 高次順像の記述✓命題 8.2・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジーこの先をたどる →
層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
- 閉はめ込みと可逆層のねじり✓補題 6.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影公式✓補題 6.4・準連接層・連接層と直線束
  - 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- 連接層の次数加群による表示✓補題 7.4・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
  - 次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 次数加群の斉次素イデアルによるフィルター✓補題 7.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 固有かつアフィンな射は有限✓定理 8.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Weierstrass 形✓定理 6.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件