数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

Weierstrass 形

定理 6.1（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§6）・ ✓公理まで証明済み

$k$ の標数は $2$ でも $3$ でもないとし、 $(X, P_0)$ を楕円曲線とする。

$x \in L(2P_0)$ 、 $y \in L(3P_0)$ と $a, b \in k$ で、 $y^2 = x^3 + ax + b$ を満たし、 $(1 : x : y)$ が閉はめ込み $X \to \mathbb{P}^2$ を与えるものがある。像は $y^2z = x^3 + axz^2 + bz^3$ で、 $P_0$ は $(0 : 1 : 0)$ に写る。
$x^3 + ax + b$ は重根をもたない。すなわち $4a^3 + 27b^2 \ne 0$ である。逆に $4a^3 + 27b^2 \ne 0$ を満たす任意の $a, b$ について、 $y^2z = x^3 + axz^2 + bz^3$ は種数 $1$ の曲線である。
この埋め込みで、 $P \oplus Q \oplus R = P_0$ は $P, Q, R$ が重複度を込めて同一直線上にあることと同値である。とくに $P = (x_0, y_0)$ の逆元は $(x_0, -y_0)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 540 件、定義なども含めて 616 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理
  - 標準因子の次数✓系 6.5・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
  - $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
  - Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- 基点をもたない条件・非常に豊富な条件✓定理 7.1・曲線と Riemann–Roch の定理
  - $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
  - 閉はめ込みの判定法✓命題 5.5・因子と直線束この先をたどる →
  - 射影直線の上に有限な完備曲線は射影的✓補題 4.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
  - 次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
  - 豊富性の判定法✓定理 6.4・因子と直線束この先をたどる →
- 射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束
  - R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - UFD と因子類群✓命題 3.3・因子と直線束この先をたどる →
  - 閉集合を除いたときの因子類群✓定理 3.4・因子と直線束この先をたどる →
  - Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式✓系 7.8・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
- Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束
  - Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式✓系 7.8・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 射影空間上の O(n) の Euler 標数✓補題 7.3・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 準連接層・連接層の核・余核・拡大✓命題 4.6・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジーこの先をたどる →
- 層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
  - 閉はめ込みと可逆層のねじり✓補題 6.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 連接層の次数加群による表示✓補題 7.4・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 次数加群の斉次素イデアルによるフィルター✓補題 7.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 固有かつアフィンな射は有限✓定理 8.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
楕円曲線の群構造✓定理 5.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
- $|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み（上で展開済み）
- 代数閉体上の整域のテンソル積✓補題 6.1・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
- 被約スキームの射は閉点で決まる✓補題 5.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込みこの先をたどる →
- 非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →

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$j$ 不変量による分類✓定理 6.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

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