射影空間の因子類群

系 3.6（「因子と直線束」§3）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を体、 $n \ge 1$ 、 $H = V_+(x_0) \subset \mathbb P^n_k$ を超平面とする。

$\operatorname{Cl}\mathbb A^n_k = 0$ である。
$\mathbb Z \to \operatorname{Cl}\mathbb P^n_k$ 、 $1 \mapsto [H]$ は同型である。
$d$ 次の $0$ でない斉次式 $g = \prod_i g_i^{a_i}$ （ $g_i$ は互いに同伴でない既約斉次式）について、因子 $\sum_i a_iV_+(g_i)$ は $dH$ と線形同値である。この対応で、因子の類は次数 $\sum_i a_i\deg g_i$ に写る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 261 件、定義なども含めて 304 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
- ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大
  - 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
  - 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
UFD と因子類群✓命題 3.3・因子と直線束
- Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- UFD は整閉✓命題 3.3・整拡大
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
  - イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
閉集合を除いたときの因子類群✓定理 3.4・因子と直線束
- 有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束
  - 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
  - Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- 係数系の Čech 複体✓補題 3.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 3 件

射影空間の Picard 群✓系 4.5・因子と直線束
$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Bézout の定理✓定理 5.1・曲面上の交叉理論

射影空間の因子類群

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

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