数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み

補題 5.3（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(X, P_0)$ を楕円曲線とする。

$l(nP_0) = n$ （ $n \ge 1$ ）で、 $3P_0$ は非常に豊富である。 $\varphi = \varphi_{|3P_0|}\colon X \to \mathbb{P}^2$ は閉はめ込みで、像は既約な 3 次斉次式 $F$ の零点 $V(F)$ である。以下 $X = V(F)$ とみなす。
$0$ でない 1 次式 $\ell$ に対し、 $\ell$ の $X$ への制限は $\mathcal{O}_X(1) \cong \mathcal{O}_X(3P_0)$ の $0$ でない切断で、その零点の因子 $\operatorname{div}(\ell)$ は次数 $3$ の有効因子である。 $\ell \mapsto \operatorname{div}(\ell)$ は、 $\mathbb{P}^2$ の直線の全体から $|3P_0|$ への全単射である。直線 $V(\ell)$ を $(s : t) \mapsto sA + tB$ と媒介変数表示すると、点 $s_0A + t_0B \in X$ の $\operatorname{div}(\ell)$ での係数は、2 元 3 次式 $F(sA + tB)$ の根 $(s_0 : t_0)$ の重複度に等しい。
$3P_0 = \operatorname{div}(\ell_0)$ となる直線 $\ell_0$ がある。点 $P, Q, R \in X$ について、 $P + Q + R \sim 3P_0$ であることと、ある直線 $\ell$ で $P + Q + R = \operatorname{div}(\ell)$ となることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 532 件、定義なども含めて 608 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理
- 標準因子の次数✓系 6.5・曲線と Riemann–Roch の定理
  - 種数・標準因子・特殊因子定義 6.2・曲線と Riemann–Roch の定理
  - Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
- $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理
  - Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
  - 完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理
  - Grothendieck の消滅定理✓定理 6.5・層コホモロジーこの先をたどる →
  - Serre 双対定理✓定理 6.4・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
  - 点を足すと Euler 標数が 1 増える✓補題 6.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
基点をもたない条件・非常に豊富な条件✓定理 7.1・曲線と Riemann–Roch の定理
- $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
- 閉はめ込みの判定法✓命題 5.5・因子と直線束
  - 射影空間の自己同型群✓系 5.2・因子と直線束この先をたどる →
  - Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 局所環の準同型の全射性✓補題 5.4・因子と直線束この先をたどる →
- 射影直線の上に有限な完備曲線は射影的✓補題 4.1・曲線と Riemann–Roch の定理
  - 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - アフィン射ではコホモロジーが順像で計算できる✓系 8.4・層コホモロジーこの先をたどる →
  - Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 豊富性の判定法✓定理 6.4・因子と直線束この先をたどる →
- 次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
- 豊富性の判定法✓定理 6.4・因子と直線束この先をたどる →
射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束
- R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- UFD と因子類群✓命題 3.3・因子と直線束
  - Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - UFD は整閉✓命題 3.3・整拡大この先をたどる →
  - 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 閉集合を除いたときの因子類群✓定理 3.4・因子と直線束
  - 有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束この先をたどる →
- Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式✓系 7.8・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 射影空間上の O(n) の Euler 標数✓補題 7.3・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- 層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

楕円曲線の群構造✓定理 5.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
Weierstrass 形✓定理 6.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

∣3P0∣|3P_0|∣3P0​∣ による平面 3 次曲線への埋め込み

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件