数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Ext 層と Serre 双対

Serre 双対定理

定理 6.4（「Ext 層と Serre 双対」§6） ・ ✓公理まで証明済み

XX を kk 上の nn 次元の射影スキーム、(ωX∘,t)(\omega_X^\circ, t) を双対化層とトレース写像とする。

  1. 連接層の圏上の反変な δ 関手の射 θi ⁣:Ext⁡i(F,ωX∘)→Hn−i(X,F)∨\theta^i\colon \operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X^\circ) \to H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee（i≥0i \ge 0）で、θ0\theta^0 が 定義 5.1 の同型 φ↦t∘Hn(φ)\varphi \mapsto t \circ H^n(\varphi) であるものがただ一つある。
  2. XX が Cohen–Macaulay で等次元 nn なら、すべての i≥0i \ge 0 とすべての連接層 F\mathcal F について θi\theta^i は同型である： Ext⁡i(F,ωX∘)≅Hn−i(X,F)∨.\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X^\circ) \cong H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee.
  3. 2 の仮定のもとで、有限階数の局所自由層 E\mathcal E とすべての ii について Hi(X,E)≅Hn−i(X,E∨⊗ωX∘)∨H^i(X, \mathcal E) \cong H^{n-i}(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X^\circ)^\vee である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 439 件、定義なども含めて 509 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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