数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Ext 層と Serre 双対

射影空間の双対定理

定理 4.1（「Ext 層と Serre 双対」§4）・ ✓公理まで証明済み

$n \ge 1$ 、 $P = \mathbb P^n_k$ 、 $\omega_P = \mathcal O_P(-n-1)$ とする。

$H^n(P, \omega_P) \cong k$ である。同型 $t\colon H^n(P, \omega_P) \to k$ を一つ固定する。
連接層 $\mathcal F$ について、 $\varphi \mapsto t \circ H^n(\varphi)$ は同型 $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_P) \to H^n(P, \mathcal F)^\vee$ である。すなわち $\operatorname{Hom}(\mathcal F, \omega_P) \times H^n(P, \mathcal F) \to H^n(P, \omega_P) \xrightarrow{\ t\ } k$ は有限次元ベクトル空間の完全ペアリングである。
すべての $i \ge 0$ について、連接層 $\mathcal F$ について自然な同型 $\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_P) \cong H^{n-i}(P, \mathcal F)^\vee$ があり、 $i = 0$ では 2 の同型に一致し、短完全列の連結射と可換である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 247 件、定義なども含めて 290 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 射影空間は固有✓定理 7.3・分離射・固有射と付値判定法
  - アフィン開被覆による分離性の判定✓補題 3.5・分離射・固有射と付値判定法
  - 固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射この先をたどる →
- Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 二重複体・全複体定義 7.1・鎖複体とホモトピー圏
  - 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
    0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
  - 層にした Čech 複体は分解。脆弱層の Čech コホモロジーは消える✓補題 3.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - Čech コホモロジーの 0 次と 1 次✓命題 3.3・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 各行が分解なら全複体への写像は擬同型✓系 7.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジーこの先をたどる →
  - 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジーこの先をたどる →
- アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
- 係数系の Čech 複体✓補題 3.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 可逆層の切断を掛けて延長する✓補題 9.1・準連接層・連接層と直線束
  - アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 引き戻しと順像✓命題 6.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 射影公式✓補題 6.4・準連接層・連接層と直線束
- 閉埋め込みに沿った順像✓補題 5.1・準連接層・連接層と直線束
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対
- 入射的な加群の層の性質✓補題 3.3・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
- 加群の層として計算しても同じ✓系 4.5・層コホモロジーこの先をたどる →
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 局所自由層と Hom・テンソル積✓補題 3.2・Ext 層と Serre 双対
- 導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- δ 関手定義 4.1・導来関手と δ 関手
導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手
- 普遍 δ 関手定義 4.2・導来関手と δ 関手
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

余次元より低い次数の Ext 層は消える✓補題 5.2・Ext 層と Serre 双対
双対化層の存在と一意性✓定理 5.4・Ext 層と Serre 双対
Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
Serre 双対定理✓定理 6.4・Ext 層と Serre 双対

射影空間の双対定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件