局所自由層と Hom・テンソル積

補題 3.2（「Ext 層と Serre 双対」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、 $\mathcal L$ を有限階数の局所自由層、 $\mathcal F, \mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。

$\mathcal L^\vee \otimes \mathcal G \to \mathcal{H}om(\mathcal L, \mathcal G)$ 、 $\varphi \otimes g \mapsto (l \mapsto \varphi(l)g)$ は同型である。
$\mathcal{H}om(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G) \cong \mathcal{H}om(\mathcal F, \mathcal G) \otimes \mathcal L^\vee$ で、大域切断をとって $\operatorname{Hom}(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G)$ である。同型は $\mathcal F, \mathcal G$ について自然である。
$- \otimes \mathcal L$ は完全関手である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。