数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Ext 層と Serre 双対

局所自由分解による Ext 層の計算

命題 3.5（「Ext 層と Serre 双対」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間とする。

$\cdots \to \mathcal L_1 \to \mathcal L_0 \to \mathcal F \to 0$ を、有限階数の局所自由層 $\mathcal L_j$ による $\mathcal F$ の分解とする。任意の $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal G$ について $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G) \cong H^i(\mathcal{H}om(\mathcal L_\bullet, \mathcal G))$ である。
$X = \operatorname{Spec} A$ を Noether アフィンスキーム、 $M$ を有限生成 $A$ 加群、 $N$ を $A$ 加群とすると、 $\mathcal{E}xt^i(\widetilde M, \widetilde N) \cong \widetilde{\operatorname{Ext}^i_A(M, N)}$ である。
$X$ を Noether スキーム、 $\mathcal F$ を連接層、 $\mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群、 $x \in X$ とすると、 $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G)_x \cong \operatorname{Ext}^i_{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal F_x, \mathcal G_x)$ である。 $\mathcal G$ も連接なら $\mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G)$ は連接である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 121 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所自由層と Hom・テンソル積✓補題 3.2・Ext 層と Serre 双対
入射的な加群の層の性質✓補題 3.3・Ext 層と Serre 双対
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層（上で展開済み）
- 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 局所自由層と Hom・テンソル積✓補題 3.2・Ext 層と Serre 双対
導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手
- 普遍 δ 関手定義 4.2・導来関手と δ 関手
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
  - 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 馬蹄補題の分解の持ち上げ✓補題 3.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - δ 関手定義 4.1・導来関手と δ 関手
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
Tor と Ext定義 4.1・Tor・Ext と深さ
Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対
- 入射的な加群の層の性質✓補題 3.3・Ext 層と Serre 双対（上で展開済み）
- 加群の層として計算しても同じ✓系 4.5・層コホモロジーこの先をたどる →
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 局所自由層と Hom・テンソル積✓補題 3.2・Ext 層と Serre 双対
- 導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

十分にねじった Ext は Ext 層の大域切断✓命題 3.8・Ext 層と Serre 双対
余次元より低い次数の Ext 層は消える✓補題 5.2・Ext 層と Serre 双対
双対化層の存在と一意性✓定理 5.4・Ext 層と Serre 双対
Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
局所完全交叉の双対化層✓定理 7.3・Ext 層と Serre 双対

局所自由分解による Ext 層の計算

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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