Ext の基本性質

$(X, \mathcal O_X)$ を環付き空間、$\mathcal F, \mathcal G$ を $\mathcal O_X$ 加群とする。

1. 開集合 $U$ について $\mathcal{E}xt^i_X(\mathcal F, \mathcal G)|_U \cong \mathcal{E}xt^i_U(\mathcal F|_U, \mathcal G|_U)$ である。
2. $\mathcal{E}xt^0(\mathcal O_X, \mathcal G) = \mathcal G$、$i > 0$ で $\mathcal{E}xt^i(\mathcal O_X, \mathcal G) = 0$、すべての $i$ で $\operatorname{Ext}^i(\mathcal O_X, \mathcal G) \cong H^i(X, \mathcal G)$ である。
3. $\operatorname{Ext}^\bullet(-, \mathcal G)$ と $\mathcal{E}xt^\bullet(-, \mathcal G)$ は $\mathsf{Mod}(\mathcal O_X)$ 上の反変な δ 関手である。すなわち短完全列 $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ から長完全列 $$0 \to \operatorname{Hom}(\mathcal F'', \mathcal G) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F, \mathcal G) \to \operatorname{Hom}(\mathcal F', \mathcal G) \to \operatorname{Ext}^1(\mathcal F'', \mathcal G) \to \operatorname{Ext}^1(\mathcal F, \mathcal G) \to \cdots$$ が自然に得られ、$\mathcal{E}xt$ についても同様である。
4. 有限階数の局所自由層 $\mathcal L$ について $$\operatorname{Ext}^i(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G), \qquad \mathcal{E}xt^i(\mathcal F \otimes \mathcal L, \mathcal G) \cong \mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G) \cong \mathcal{E}xt^i(\mathcal F, \mathcal G) \otimes \mathcal L^\vee$$ である。とくに $\operatorname{Ext}^i(\mathcal L, \mathcal G) \cong H^i(X, \mathcal L^\vee \otimes \mathcal G)$ である。