Tor と Ext

$M, N$ を $A$ 加群とし、$P_\bullet \to M$ を射影分解とする。$n \ge 0$ について

と定める。ここで $\operatorname{Hom}(P_\bullet, N)$ は $\operatorname{Hom}(P_0, N) \to \operatorname{Hom}(P_1, N) \to \cdots$（写像は $d^*$）である。準同型 $f\colon M \to M'$ と $g\colon N \to N'$ については、$M'$ の射影分解 $P'_\bullet$ と $f$ の持ち上げ $\varphi\colon P_\bullet \to P'_\bullet$（定理 3.3）を取り、$\operatorname{Tor}_n(f, N) = H_n(\varphi \otimes 1)$、$\operatorname{Ext}^n(f, N) = H^n(\varphi^*)\colon \operatorname{Ext}^n(M', N) \to \operatorname{Ext}^n(M, N)$、$\operatorname{Tor}_n(M, g) = H_n(1 \otimes g)$、$\operatorname{Ext}^n(M, g) = H^n(g_*)$ と定める。$A$ を省いて $\operatorname{Tor}_n$、$\operatorname{Ext}^n$ とも書く。