代数的 Künneth 公式

定理 7.2（「Ext と拡大」§7）・ ✓公理まで証明済み

$R$ を PID、 $C$ を自由 $R$ 加群からなる複体、 $D$ を $R$ 加群の複体とする。各 $n$ について、 $C$ と $D$ の鎖写像（ $C$ の側は自由加群の複体の間）について自然な短完全列

0 \to \bigoplus_{p+q=n} H_p(C) \otimes_R H_q(D) \xrightarrow{\ \kappa\ } H_n(C \otimes D) \to \bigoplus_{p+q=n-1} \operatorname{Tor}_1^R\bigl(H_p(C), H_q(D)\bigr) \to 0

がある。ここで $\kappa([z] \otimes [y]) = [z \otimes y]$ である。さらに、 $D$ も自由加群からなるか、 $D$ の微分が $0$ なら、この列は分裂する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 41 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

PID 上の自由加群の部分加群✓補題 6.1・Ext と拡大
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
分裂する短完全列✓補題 2.1・Ext と拡大
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
  - 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
ホモロジーの長完全列（加群）✓補題 2.3・Tor・Ext と深さ
- 蛇の補題✓補題 4.1・加群・完全列・中山の補題
テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Tor と Ext定義 4.1・Tor・Ext と深さ
Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
- 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ

これを使っている定理証明で参照している 1 件

ホモロジーの普遍係数定理✓系 7.3・Ext と拡大

代数的 Künneth 公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件