数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

アフィン開集合の個数による消滅

系 4.2（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 152 件、定義なども含めて 182 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

  • 二重複体・全複体定義 7.1・鎖複体とホモトピー圏
  • 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー

    • 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層

      • 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層 この先をたどる →
      • 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層 この先をたどる →
      • 芽の族の層✓補題 4.2・層 この先をたどる →
      • 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 この先をたどる →
      • 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層 この先をたどる →
  • 層にした Čech 複体は分解。脆弱層の Čech コホモロジーは消える✓補題 3.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

    • 係数系の Čech 複体✓補題 3.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
    • 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
    • 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー

      • 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
      • 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
      • 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手 この先をたどる →
  • Čech コホモロジーの 0 次と 1 次✓命題 3.3・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

    • コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏

      • 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏 この先をたどる →
      • 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
      • コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏 この先をたどる →
    • 層にした Čech 複体は分解。脆弱層の Čech コホモロジーは消える✓補題 3.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
    • 次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手

      • 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手 この先をたどる →
      • 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
      • アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
    • 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）
  • 各行が分解なら全複体への写像は擬同型✓系 7.3・鎖複体とホモトピー圏

    • 非輪状集成補題✓定理 7.2・鎖複体とホモトピー圏

      • 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏 この先をたどる →
      • コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
    • 擬同型と錐の非輪状性✓系 5.4・鎖複体とホモトピー圏

      • 写像錐の長完全列✓定理 5.3・鎖複体とホモトピー圏 この先をたどる →
      • 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
      • アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
  • 開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジー

    • 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層 この先をたどる →
    • 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
    • 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）
    • 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
  • 分離スキームのアフィン開集合の交わり✓命題 3.4・分離射・固有射と付値判定法

    • ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射 この先をたどる →
    • アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法 この先をたどる →
  • アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは消える✓定理 7.4・層コホモロジー

    • 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束 この先をたどる →
    • 入射加群への埋め込み✓定理 3.9・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
    • 入射加群に伴う層は脆弱✓補題 7.3・層コホモロジー

      • 入射加群から局所化への全射✓補題 7.2・層コホモロジー
      • 入射加群のねじれ部分✓補題 7.1・層コホモロジー この先をたどる →
    • 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
• Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
• 射影空間の双対定理✓定理 4.1・Ext 層と Serre 双対

関連するノック 1 問

• 代数幾何 II 第 10 問