数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Ext 層と Serre 双対

非特異射影多様体の Serre 双対

系 7.4（「Ext 層と Serre 双対」§7） ・ ✓公理まで証明済み

XX を kk 上の nn 次元の非特異射影多様体、Ωp=⋀pΩX/k\Omega^p = \bigwedge^p\Omega_{X/k}、ωX=Ωn\omega_X = \Omega^n とする。

  1. 連接層 F\mathcal F について Ext⁡i(F,ωX)≅Hn−i(X,F)∨\operatorname{Ext}^i(\mathcal F, \omega_X) \cong H^{n-i}(X, \mathcal F)^\vee、有限階数の局所自由層 E\mathcal E について Hi(X,E)≅Hn−i(X,E∨⊗ωX)∨H^i(X, \mathcal E) \cong H^{n-i}(X, \mathcal E^\vee \otimes \omega_X)^\vee である。
  2. Hn(X,ωX)≅kH^n(X, \omega_X) \cong k である。
  3. Hi(X,Ωp)≅Hn−i(X,Ωn−p)∨H^i(X, \Omega^p) \cong H^{n-i}(X, \Omega^{n-p})^\vee である。
  4. n=1n = 1 のとき H1(X,OX)≅H0(X,ωX)∨H^1(X, \mathcal O_X) \cong H^0(X, \omega_X)^\vee で、算術種数 pa(X)=dim⁡H1(X,OX)p_a(X) = \dim H^1(X, \mathcal O_X) と幾何種数 pg(X)=dim⁡H0(X,ωX)p_g(X) = \dim H^0(X, \omega_X) は等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 478 件、定義なども含めて 552 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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