数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Ext 層と Serre 双対

局所完全交叉の局所的な構造

補題 7.2（「Ext 層と Serre 双対」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を余次元 $r$ の局所完全交叉、 $\mathcal J$ をイデアル層とする。閉点 $x \in X$ ごとに、 $x$ の $P$ でのアフィン開近傍 $U = \operatorname{Spec} A$ と $f_1, \ldots, f_r \in A$ で次を満たすものがある（このような $(U, f)$ をよい座標と呼ぶ）。 $I = \Gamma(U, \mathcal J)$ として、

$I = (f_1, \ldots, f_r)$ で、Koszul 複体 $K(f) \to A/I$ は $A/I$ の自由分解である。
$I/I^2$ は $f_1, \ldots, f_r$ の類を基底とする自由 $A/I$ 加群である。

したがって $\mathcal J/\mathcal J^2$ は $X$ 上の階数 $r$ の局所自由層である。また $X$ は Cohen–Macaulay で等次元 $N - r$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 411 件、定義なども含めて 477 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則列の Koszul 複体✓定理 8.3・Tor・Ext と深さ
- Koszul 複体の長完全列✓補題 8.2・Tor・Ext と深さ
  - ホモロジーの長完全列（加群）✓補題 2.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
完全交叉は CM✓命題 6.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 正則局所環は CM✓系 6.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
  - パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 正則列で割った環✓命題 3.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
  - 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
- 射影空間の双対定理✓定理 4.1・Ext 層と Serre 双対
  - 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対（上で展開済み）
  - Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対
  - 入射的な加群の層の性質✓補題 3.3・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
  - 加群の層として計算しても同じ✓系 4.5・層コホモロジーこの先をたどる →
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 局所自由層と Hom・テンソル積✓補題 3.2・Ext 層と Serre 双対
  - 導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 十分にねじった Ext は Ext 層の大域切断✓命題 3.8・Ext 層と Serre 双対
  - Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対（上で展開済み）
  - 局所自由分解による Ext 層の計算✓命題 3.5・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
  - Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 局所から大域へのスペクトル系列✓定理 3.6・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
  - 高次の行が消えるときの同型✓補題 3.7・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
- 代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 埋め込み次元・正則局所環・正則環定義 6.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- Auslander–Buchsbaum の公式✓定理 9.1・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 局所自由分解による Ext 層の計算✓命題 3.5・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 射影次元と Ext の消滅✓補題 6.2・Tor・Ext と深さ
  - Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
  - 射影分解・自由分解・入射分解定義 3.1・Tor・Ext と深さ
  - 次元ずらし✓補題 4.4・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
  - 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 射影次元の次数の Ext は消えない✓補題 6.2・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
- 深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

局所完全交叉の双対化層✓定理 7.3・Ext 層と Serre 双対
非特異射影多様体の Serre 双対✓系 7.4・Ext 層と Serre 双対

局所完全交叉の局所的な構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件