数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › 層コホモロジー

Grothendieck の消滅定理

定理 6.5（「層コホモロジー」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 101 件、定義なども含めて 119 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環

  • 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
• 開集合への制限と閉集合からの順像✓補題 4.6・層コホモロジー

  • 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層

    • 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
    • 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層 この先をたどる →
    • 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

      • 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
      • 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 この先をたどる →
    • 芽の族の層✓補題 4.2・層 この先をたどる →
  • 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
  • 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー

    • 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
    • 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
    • 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手 この先をたどる →
  • 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー（上で展開済み）
• 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー

  • 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層

    • 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
    • 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層 この先をたどる →
    • 芽の族の層✓補題 4.2・層 この先をたどる →
    • 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
    • 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層（上で展開済み）
• コホモロジーと順極限の交換✓補題 6.3・層コホモロジー

  • 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限

    • フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
    • 集合のフィルター余極限の記述✓命題 6.3・極限と余極限（上で展開済み）
    • フィルター圏・順極限・逆極限定義 6.1・極限と余極限
  • 集合のフィルター余極限の記述✓命題 6.3・極限と余極限

    • フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
  • 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層

    • 芽の族の層✓補題 4.2・層 この先をたどる →
    • 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
    • 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理 この先をたどる →
    • 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
  • 関手的な脆弱分解✓補題 6.2・層コホモロジー
  • 層の圏は Grothendieck 圏✓定理 8.2・層

    • 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層 この先をたどる →
    • 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
    • 余積から余極限へ✓補題 6.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 この先をたどる →
    • 茎と摩天楼層の随伴✓補題 6.4・層 この先をたどる →
    • 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
    • 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
    • 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏 この先をたどる →
    • 生成子の性質✓補題 6.6・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 この先をたどる →
    • Grothendieck 圏は十分に入射対象をもつ✓定理 7.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 この先をたどる →
  • 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）
  • 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手 この先をたどる →
• 既約な空間上の定数層は脆弱✓補題 6.4・層コホモロジー

  • 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 豊富な因子の正値性✓補題 6.2・曲面上の交叉理論
• 点を足すと Euler 標数が 1 増える✓補題 6.3・曲線と Riemann–Roch の定理
• Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理
• 余次元より低い次数の Ext 層は消える✓補題 5.2・Ext 層と Serre 双対
• Serre 双対定理✓定理 6.4・Ext 層と Serre 双対

関連するノック 2 問

• 代数幾何 II 第 2 問
• 代数幾何 II 第 10 問