関手的な脆弱分解

層 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ に対し、$G(\mathcal F)(U) = \prod_{x \in U} \mathcal F_x$（制限写像は成分の射影）と定める。

1. $G(\mathcal F)$ は脆弱層で、$\varepsilon_{\mathcal F}\colon \mathcal F \to G(\mathcal F)$、$s \mapsto (s_x)_{x \in U}$ は単射である。層の射 $\varphi\colon \mathcal F \to \mathcal F'$ は $G(\varphi) = \prod_x \varphi_x$ を誘導し、$G(\varphi)\varepsilon_{\mathcal F} = \varepsilon_{\mathcal F'}\varphi$ を満たす。$G$ は関手である。
2. $\mathcal Z^0 = \mathcal F$、$C^n(\mathcal F) = G(\mathcal Z^n)$、$\mathcal Z^{n+1} = \operatorname{Coker}(\varepsilon_{\mathcal Z^n})$ と帰納的に定め、$d^n\colon C^n(\mathcal F) \to \mathcal Z^{n+1} \to C^{n+1}(\mathcal F)$ を商写像と $\varepsilon_{\mathcal Z^{n+1}}$ の合成とする。$0 \to \mathcal F \to C^0(\mathcal F) \to C^1(\mathcal F) \to \cdots$ は脆弱層による分解で、$\mathcal F$ について関手的である。