射影空間の自己同型群

系 5.2（「因子と直線束」§5）・ ✓公理まで証明済み

$k$ を体とする。可逆行列 $a = (a_{ij}) \in \mathrm{GL}_{n+1}(k)$ に、組 $(\mathcal O(1), \sum_j a_{ij}x_j)$ の定める射 $\varphi_a\colon \mathbb P^n_k \to \mathbb P^n_k$ を対応させると、同型 $\mathrm{PGL}_{n+1}(k) = \mathrm{GL}_{n+1}(k)/k^\times \cong \operatorname{Aut}_k(\mathbb P^n_k)$ が得られる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 364 件、定義なども含めて 421 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影空間の Picard 群✓系 4.5・因子と直線束
- Weil 因子と Cartier 因子の一致✓定理 4.2・因子と直線束
  - Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環
    次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
    正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
    DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
    局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
    整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
    随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
    付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束
    既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
    Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
    一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
    ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
    イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
    Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束
  - Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束
  - R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - UFD と因子類群✓命題 3.3・因子と直線束この先をたどる →
  - 閉集合を除いたときの因子類群✓定理 3.4・因子と直線束
    有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束（上で展開済み）
  - Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
射影空間への射と可逆層✓定理 5.1・因子と直線束
- ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
    局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
  - 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
  - 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

閉はめ込みの判定法✓命題 5.5・因子と直線束
自己同型群の有限性✓補題 8.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

射影空間の自己同型群

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件