ねじり層 O(n)

定理 8.3（「準連接層・連接層と直線束」§8）・ ✓公理まで証明済み

$S$ を、 $S_0$ 代数として $S_1$ で生成される次数環、 $X = \operatorname{Proj} S$ とする。

$\mathcal{O}_X(n)$ は可逆層で、 $f \in S_1$ について $\mathcal{O}_X(n)|_{D_{+}(f)}$ は $f^n$ を基底とする自由加群である。
次数 $S$ 加群 $M$ について $\widetilde{M} \otimes \mathcal{O}_X(n) \cong \widetilde{M(n)}$ である。とくに $\mathcal{O}_X(m) \otimes \mathcal{O}_X(n) \cong \mathcal{O}_X(m + n)$ 、 $\mathcal{O}_X(n)^{\vee} \cong \mathcal{O}_X(-n)$ で、 $n \mapsto [\mathcal{O}_X(n)]$ は群準同型 $\mathbb{Z} \to \operatorname{Pic} X$ である。
$A$ を環、 $r \ge 1$ 、 $S = A[x_0, \ldots, x_r]$ 、 $X = \mathbb{P}^r_A$ とする。自然な写像 $S_n \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X(n))$ はすべての整数 $n$ で同型である。すなわち $\Gamma(\mathbb{P}^r_A, \mathcal{O}(n))$ は $n$ 次斉次多項式の全体で、 $n < 0$ のとき $0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 126 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
- テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
  - テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - 五項補題（加群）✓系 4.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- アフィンスキーム上の準連接層の切断✓補題 4.2・準連接層・連接層と直線束
  - 大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - M~ の茎・切断・制限✓命題 3.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束
- テンソル積の茎✓補題 2.2・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 準連接性・連接性のアフィン開集合による判定✓定理 4.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 局所自由性の判定✓定理 7.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束（上で展開済み）
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Euler 完全列と射影空間の標準層✓定理 8.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
準連接層は $Γ_*$ から復元される✓定理 9.3・準連接層・連接層と直線束
射影空間への射と可逆層✓定理 5.1・因子と直線束
$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

ねじり層 O(n)

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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