数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

楕円曲線の群構造

定理 5.4（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(X, P_0)$ を楕円曲線とする。

$P \mapsto \mathcal{O}_X(P - P_0)$ の類は、 $X$ の点の集合から $\operatorname{Pic}^0 X$ への全単射である。これにより $X$ の点の集合は $P_0$ を単位元とするアーベル群になり、 $P \oplus Q = S$ は $P + Q \sim S + P_0$ と同値である。
$P \oplus Q \oplus R = P_0$ であることは、補題 5.3 の埋め込みで $P + Q + R$ がある直線の切り口 $\operatorname{div}(\ell)$ であることと同値である。
加法 $m\colon X \times X \to X$ と逆元 $\iota\colon X \to X$ は $k$ 上の射（の閉点への制限）である。とくに平行移動 $\tau_a(P) = P \oplus a$ は $X$ の自己同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 539 件、定義なども含めて 615 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理
- 標準因子の次数✓系 6.5・曲線と Riemann–Roch の定理
  - 種数・標準因子・特殊因子定義 6.2・曲線と Riemann–Roch の定理
  - Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
$|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
- 基点をもたない条件・非常に豊富な条件✓定理 7.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- 射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束この先をたどる →
- ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
  - 加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- 超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式✓系 7.8・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束この先をたどる →
代数閉体上の整域のテンソル積✓補題 6.1・アフィン代数多様体と座標環
- 基底の存在（Hamel 基底）✓定理 6.3・選択公理と Zorn の補題
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
被約スキームの射は閉点で決まる✓補題 5.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- Jacobson 環上の有限型代数✓定理 5.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 体と局所環に値をもつ点✓命題 7.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
- 固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
- はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
- 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 切断は局所環の共通部分✓補題 2.2・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 付値環は支配について極大✓補題 2.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- 曲線の点と関数体の離散付値環✓命題 2.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- 分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Weierstrass 形✓定理 6.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
$j$ 不変量による分類✓定理 6.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

楕円曲線の群構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件