数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み

$j$ 不変量による分類

定理 6.2（「Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み」§6）・ ✓公理まで証明済み

$k$ の標数は $2$ でも $3$ でもないとする。 $4a^3 + 27b^2 \ne 0$ を満たす $(a, b)$ に対し、曲線 $E_{a,b}\colon y^2 = x^3 + ax + b$ と

j(a, b) = 1728 \cdot \frac{4a^3}{4a^3 + 27b^2}

を考える。

$E_{a,b}$ と $E_{a',b'}$ が曲線として同型であることは、ある $u \in k^{\times}$ で $a' = u^4a$ 、 $b' = u^6b$ となることと同値で、さらに $j(a, b) = j(a', b')$ と同値である。したがって種数 $1$ の曲線 $X$ に対し、 $j(X)$ が点 $P_0$ と Weierstrass 形の取り方によらずに定まる。
任意の $j_0 \in k$ に対し、 $j(X) = j_0$ となる種数 $1$ の曲線がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 541 件、定義なども含めて 617 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

楕円曲線の群構造✓定理 5.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- 次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理
  - 標準因子の次数✓系 6.5・曲線と Riemann–Roch の定理
    種数・標準因子・特殊因子定義 6.2・曲線と Riemann–Roch の定理
    Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
  - $l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理
    Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
    引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
    完備多様体の大域正則関数は定数✓定理 8.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - Riemann–Roch の定理✓定理 6.4・曲線と Riemann–Roch の定理
    Grothendieck の消滅定理✓定理 6.5・層コホモロジーこの先をたどる →
    Serre 双対定理✓定理 6.4・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
    点を足すと Euler 標数が 1 増える✓補題 6.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- $|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
  - 次数が大きい因子✓系 6.6・曲線と Riemann–Roch の定理（上で展開済み）
  - 基点をもたない条件・非常に豊富な条件✓定理 7.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
  - 射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束この先をたどる →
  - ねじり層 O(n)✓定理 8.3・準連接層・連接層と直線束
    加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
    Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - 超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式✓系 7.8・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー（上で展開済み）
  - Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束この先をたどる →
- 代数閉体上の整域のテンソル積✓補題 6.1・アフィン代数多様体と座標環
  - 基底の存在（Hamel 基底）✓定理 6.3・選択公理と Zorn の補題
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - イデアルと代数的集合の対応✓定理 2.3・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 被約スキームの射は閉点で決まる✓補題 5.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
  - 閉部分スキームと準連接イデアル層✓定理 5.2・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
  - Jacobson 環上の有限型代数✓定理 5.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 対角射ははめ込み✓命題 3.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 体と局所環に値をもつ点✓命題 7.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
  - 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
  - DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
  - 固有性の付値判定法✓定理 5.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
  - はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
Weierstrass 形✓定理 6.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
- $|3P_0|$ による平面 3 次曲線への埋め込み✓補題 5.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み（上で展開済み）
- 超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式✓系 7.8・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - 射影空間上の O(n) の Euler 標数✓補題 7.3・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
  - 層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- 楕円曲線の群構造✓定理 5.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

jjj 不変量による分類

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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