稠密な開集合で一致する射は等しい

命題 8.2（「分離射・固有射と付値判定法」§8）・ ✓公理まで証明済み

$S$ をスキーム、 $X$ を被約な $S$ 上のスキーム、 $Y$ を $S$ 上分離的なスキームとする。

$S$ 上の射 $a, b\colon X \to Y$ が $X$ の稠密な開集合 $U$ の上で一致すれば、 $a = b$ である。とくに多様体の間の二つの射が空でない開集合の上で一致すれば、それらは等しい。
$S$ 上の射 $f\colon X \to Y$ のグラフ射 $\Gamma_f\colon X \to X \times_S Y$ は閉はめ込みである（この主張には $X$ の被約性は要らない）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 92 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層この先をたどる →
- 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射
  - アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射
  - 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
  - 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層（上で展開済み）
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
対角射の底変換✓補題 6.1・分離射・固有射と付値判定法
はめ込みは単射的な射✓補題 2.4・分離射・固有射と付値判定法
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 2.3・分離射・固有射と付値判定法
  - アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射（上で展開済み）
  - アフィン性の判定✓補題 2.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層この先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
  - 構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 忠実・充満・本質的全射定義 4.5・圏・関手・自然変換
  - 圏同値の判定✓定理 6.2・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

非特異曲線の局所環と有理写像の延長✓命題 10.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論
曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理

稠密な開集合で一致する射は等しい

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件