数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › 曲面上の交叉理論

1 点の爆発

定理 7.3（「曲面上の交叉理論」§7） ・ ✓公理まで証明済み

XX を曲面、PP を点とする。曲面 X~\tilde{X} と射 π ⁣:X~→X\pi\colon \tilde{X} \to X で、次を満たすものがある。E=π−1(P)E = \pi^{-1}(P) とおく。

  1. π\pi は同型 X~∖E→X∖{P}\tilde{X} \setminus E \to X \setminus \{P\} を引き起こす。EE は P1\mathbb{P}^1 と同型な素因子（例外曲線）で、PP の適当なアフィン開近傍 UU の上で π−1(U)→U\pi^{-1}(U) \to U は 補題 7.2 の U~→U\tilde{U} \to U と同型である。
  2. CC を XX の有効因子、mm を CC の PP での重複度（局所方程式 ff が mPm\mathfrak{m}_P^m に入る最大の m≥0m \ge 0）とすると、π∗C=C~+mE\pi^*C = \tilde{C} + mE と書ける。ここで C~\tilde{C}（固有変換）は EE を成分に含まない有効因子で、C~.E=m\tilde{C}.E = m である。
  3. XX の因子 C,DC, D について π∗C.π∗D=C.D\pi^*C.\pi^*D = C.D、π∗C.E=0\pi^*C.E = 0 で、E2=−1E^2 = -1 である。
  4. (L,n)↦π∗L⊗OX~(nE)(\mathcal{L}, n) \mapsto \pi^*\mathcal{L} \otimes \mathcal{O}_{\tilde{X}}(nE) は同型 Pic⁡X⊕Z→Pic⁡X~\operatorname{Pic} X \oplus \mathbb{Z} \to \operatorname{Pic}\tilde{X} である。
  5. KX~∼π∗KX+EK_{\tilde{X}} \sim \pi^*K_X + E である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 497 件、定義なども含めて 570 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 13 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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