斉次イデアルの素性の判定

$S$ を次数環、$\mathfrak{p} \ne S$ を斉次イデアルとする。

1. 斉次元 $x, y$ について「$xy \in \mathfrak{p}$ ならば $x \in \mathfrak{p}$ または $y \in \mathfrak{p}$」が成り立てば、$\mathfrak{p}$ は素イデアルである。
2. $\mathfrak{p} \in \operatorname{Proj} S$ について、$S_{(\mathfrak{p})}$ は $\{ a/b : a \in \mathfrak{p} \}$ を極大イデアルとする局所環である。
3. 斉次元 $f$（次数 $d > 0$）、斉次元 $g$（次数 $e \ge 0$）について、$u = g^d/f^e \in S_{(f)}$ とおくと、$S_f \to S_{fg}$ の誘導する準同型 $(S_{(f)})_u \to S_{(fg)}$ は同型である。