Proj はスキーム

定理 6.3（「アフィンスキームとスキーム」§6）・ ✓公理まで証明済み

$S$ を次数環、 $X = \operatorname{Proj} S$ とする。

正の次数の斉次元 $f$ についての $D_+(f)$ の全体は $X$ の開基で、 $D_+(f) \cap D_+(g) = D_+(fg)$ である。正の次数の斉次元の族 $(f_i)$ がイデアル $S_+$ を生成すれば $X = \bigcup_i D_+(f_i)$ である。
$f$ を次数 $d > 0$ の斉次元とする。 $\phi_f(\mathfrak{p}) = \mathfrak{p}S_f \cap S_{(f)}$ は同相写像 $\phi_f\colon D_+(f) \to \operatorname{Spec} S_{(f)}$ を定め、次数 $e$ の斉次元 $g$ について $\phi_f(D_+(fg)) = D(g^d/f^e)$ である。
点 $\mathfrak{p} \in X$ での茎は $\mathcal{O}_{X, \mathfrak{p}} \cong S_{(\mathfrak{p})}$ である。 $f$ を正の次数の斉次元とすると、 $(D_+(f), \mathcal{O}_X|_{D_+(f)})$ は局所環付き空間として $\operatorname{Spec} S_{(f)}$ と同型である。したがって $\operatorname{Proj} S$ はスキームである。
$\mathbb{P}^n_A = \bigcup_{i=0}^n D_+(x_i)$ で、 $D_+(x_i) \cong \operatorname{Spec} A[x_0/x_i, \ldots, x_n/x_i] \cong \mathbb{A}^n_A$ である。ここで $A[x_0/x_i, \ldots, x_n/x_i] = S_{(x_i)}$ は、 $n$ 個の元 $x_j/x_i$ （ $j \ne i$ ）を変数とする $A$ 上の多項式環である。 $D_+(x_i) \cap D_+(x_j)$ は、 $D_+(x_i)$ の中では主開集合 $D(x_j/x_i)$ に対応する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
斉次部分加群の判定と剰余✓補題 2.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
斉次イデアルの素性の判定✓補題 6.2・アフィンスキームとスキーム
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
構造層の存在✓定理 2.3・アフィンスキームとスキーム
- Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
    冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル
    局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 芽の族の層✓補題 4.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Bézout の定理✓定理 5.1・曲面上の交叉理論
1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論
曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理

Proj はスキーム

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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