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補題 7.1（「曲面上の交叉理論」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{P}^n_k \times_k \mathbb{P}^m_k$ の座標を $(x_i)$ , $(y_j)$ 、 $\mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}_k$ の座標を $(z_{ij})$ とする。 $z_{ij} \mapsto x_iy_j$ で定まる射 $\sigma\colon \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}$ は閉はめ込みである。したがって、 $k$ 上の射影スキーム 2 つの積は射影的である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 84 件、定義なども含めて 106 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム
- 層の貼り合わせ✓定理 8.1・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
- 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
  - 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
    普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理この先をたどる →
    加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
  - 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
    加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
    層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
    加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限この先をたどる →
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
    芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
    完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
  - 逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層
    層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
    層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層（上で展開済み）
    随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
    芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射
  - アフィン交流補題✓補題 4.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- ファイバー積の存在✓定理 5.2・スキームの性質と射
  - 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 射とスキームの貼り合わせ✓定理 5.1・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
- アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
  - 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層（上で展開済み）
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射この先をたどる →
  - 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件