切断から作る導分

$P$ を $A$ 代数、$I$ をイデアル、$\pi_2\colon P/I^2 \to P/I$ を標準全射とし、$A$ 代数の準同型 $s\colon P/I \to P/I^2$ が $\pi_2 \circ s = \mathrm{id}$ を満たすとする。$p \in P$ の $P/I^k$ での像を $[p]_k$ と書き、$D(p) = [p]_2 - s([p]_1)$ とおく。

1. $D(p) \in I/I^2$ で、$D\colon P \to I/I^2$ は $A$ 導分であり（$I/I^2$ は $P/I$ 加群、したがって $P$ 加群）、$x \in I$ なら $D(x) = x \bmod I^2$ である。
2. 定理 5.2 の $\delta\colon I/I^2 \to (P/I) \otimes_P \Omega_{P/A}$ は、$r \circ \delta = \mathrm{id}$ となる $P/I$ 線形写像 $r$ をもつ。とくに $\delta$ は単射である。