ピカール–リンデレーフの定理（初期値問題の局所解）

定理 6.5（「距離空間」§6）・ ✓公理まで証明済み

$f : [t_0 - a, t_0 + a] \times [y_0 - b, y_0 + b] \to \mathbb{R}$ を連続関数とし、 $|f| \le M$ 、かつ $y$ についてのリプシッツ条件

|f(t, y) - f(t, z)| \le L\,|y - z|

をみたすとする（ $M, L > 0$ ）。 $h = \min\{a,\, b/M,\, 1/(2L)\}$ とおく。このとき、初期値問題 $y'(t) = f(t, y(t))$ 、 $y(t_0) = y_0$ は、区間 $I = [t_0 - h, t_0 + h]$ 上で $C^1$ 級の解をただ一つもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

連続関数の空間 C[a,b] は一様距離で完備✓命題 2.4・距離空間
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

ピカール–リンデレーフの定理（初期値問題の局所解）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）