数学 › フーリエ解析と超関数 › Sobolev 空間
有界領域での Rellich の定理
が有界開集合なら、包含写像 はコンパクトである。したがって、 を形式定義域とする Dirichlet Laplacian はコンパクトなレゾルベントをもち、そのスペクトルは重複度有限の固有値 からなる。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 139 件、定義なども含めて 160 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
✓命題 3.2・Sobolev 空間
- 超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
- 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
- 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
Rellich のコンパクト性定理✓定理 5.1・Sobolev 空間
Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
C(K) の完備性✓補題 2.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 表現定理✓定理 4.2・自己共役性の判定
Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素
- 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
- 正規作用素のスペクトル半径✓系 6.8・有界作用素と共役作用素 この先をたどる →
- コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 束縛状態の有限性の判定法✓定理 4.1・束縛状態の個数
- Fredholm の択一✓定理 4.3・楕円型方程式の弱解と変分法