数学 › 偏微分方程式 › Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

Pólya–Szegő の不等式

定理 6.7（「Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 130 件、定義なども含めて 152 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 熱核による勾配の特徴づけ✓補題 6.6・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • Plancherel の定理✓定理 4.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）
    • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
    • Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
    • Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
  • Young の不等式✓定理 5.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

    • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • Sobolev 空間 Hˢ(ℝⁿ)定義 3.1・Sobolev 空間
  • $Hᵏ = W^{k,2}$✓命題 3.2・Sobolev 空間

    • 超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    • 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
    • 𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
• 再配置の基本性質✓補題 6.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• 反復分極による近似✓補題 6.5・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • 分極の性質✓補題 6.4・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則（上で展開済み）
  • Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • C(K) の完備性✓補題 2.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    • 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間 この先をたどる →
    • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  • 再配置の基本性質✓補題 6.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• 分極の性質✓補題 6.4・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • 再配置の基本性質✓補題 6.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入

  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
    • 第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

    • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
    • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
  • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Faber–Krahn の不等式✓定理 6.9・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則