分極の性質

補題 6.4（「Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則」§6）・ ✓公理まで証明済み

$f,g\ge0$ を $L^2(\mathbb{R}^n)$ の元とし、 $H$ を原点を含む開半空間とする。

すべての $t\gt0$ で $|\{f^H\gt t\}|=|\{f\gt t\}|$ 。したがって $(f^H)^*=f^*$ 、 $\|f^H\|_2=\|f\|_2$ 。
$\|f^H-g^H\|_2\le\|f-g\|_2$ 。さらに、 $H$ の正測度の部分集合の上で $(f(x)-f(\sigma x))(g(x)-g(\sigma x))\lt0$ なら、不等号は真に成り立つ。
$(f^*)^H=f^*$ 。
$K(x)=k(|x|)$ （ $k\ge0$ は非増加）が可積分なら、 $\langle f^H,K*f^H\rangle\ge\langle f,K*f\rangle$ 。
$f$ が連続で台が閉球 $\bar B_R=\{|x|\le R\}$ に含まれ、非減少関数 $\omega$ について $|f(x)-f(y)|\le\omega(|x-y|)$ を満たすなら、 $f^H$ も連続で、台は $\bar B_R$ に含まれ、同じ評価を満たし、 $\sup f^H=\sup f$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。