再配置の基本性質

$f,g\ge0$ を 定義 6.1 の条件を満たす可測関数とする。

1. すべての $t\gt0$ で $\{f^*\gt t\}=\{f\gt t\}^*$。とくに $f^*$ は $|x|$ だけの関数で、$|x|$ について非増加である。
2. $f\in L^2$ なら $\|f^*\|_2=\|f\|_2$。
3. $f,g\in L^2$ なら $\int fg\le\int f^*g^*$ で、$\|f^*-g^*\|_2\le\|f-g\|_2$。
4. すべての $t\gt0$ で $|\{f\gt t\}|=|\{g\gt t\}|$ なら $f^*=g^*$。$f$ が測度有限の集合 $\Omega$ の外でほとんど至るところ $0$ なら、$f^*$ は $\Omega^*$ の外で $0$ である。