数学 › 偏微分方程式 › Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

Weyl の漸近公式

定理 5.2（「Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を有界な開集合で、境界の Lebesgue 測度が $|\partial\Omega|=0$ を満たすものとする。このとき

\lim_{\lambda\to\infty}\frac{N_\Omega(\lambda)}{\lambda^{n/2}}=\frac{\omega_n|\Omega|}{(2\pi)^n}.

同値に、 $-\Delta_D^\Omega$ の固有値（重複度こみ）は $k\to\infty$ で

\lambda_k\sim4\pi^2\Bigl(\frac k{\omega_n|\Omega|}\Bigr)^{2/n}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 99 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Dirichlet–Neumann bracketing✓定理 4.1・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
- 立方体の Dirichlet 試験関数✓補題 3.3・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
  - 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理
    弱微分と $W^{k,p}$ 定義 2.1・Sobolev 空間
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- 変分原理（計数関数版）✓補題 2.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
- 正弦・余弦の基底✓補題 3.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
  - Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
    Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数この先をたどる →
    正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- 立方体の Neumann 型の下からの評価✓補題 3.4・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
  - ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
  - 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
- Poincaré の不等式✓補題 2.1・楕円型方程式の弱解と変分法

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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