ラプラス方程式と調和関数：平均値の性質・最大値原理・Harnack の不等式・Green 関数

0. この記事の要点

熱が行き渡って温度が落ち着いた金属板では、どの点の温度も、そのすぐ周りの温度の平均になっています。この記事は、この素朴な事実を数式で言い直し、そこから「温度の最大値は縁でしか現れない」「縁の温度を決めれば板の中の温度はただ一通りに決まる」ことを導きます。読み終えると、球の中の定常な温度分布を、縁の温度から積分の公式で書き下せるようになります。

• $\Delta u=0$ を満たす $C^2$ 関数（調和関数）は、すべての球面・球の上の平均値に等しくなります（平均値の性質）。逆に、連続で平均値の性質をもつ関数は $C^\infty$ 級の調和関数です。証明に使うのは発散定理だけです。
• 平均値の性質から、連結な領域の内部で最大値をとる調和関数は定数です（強最大値原理）。ここから Dirichlet 問題の解の一意性と安定性が出ます。
• 非負の調和関数は、コンパクトな部分集合の上で、最大値と最小値の比が関数によらない定数で抑えられます（Harnack の不等式。非負の調和関数の値は、場所によって極端には変わらないという不等式です）。
• 基本解 $\Phi$（原点に置いた点電荷のつくるポテンシャルにあたる関数）との畳み込み $\Phi*f$ は Poisson 方程式 $-\Delta u=f$ を解きます。
• 有界領域の Green 関数 $G$（基本解を、境界で $0$ になるように補正した関数）を使うと、調和関数は境界値から $u(x)=\int_{\partial\Omega}K(x,y)u(y)\,dS(y)$ で復元されます。球では鏡像の方法で $G$ が求まり、Poisson 核（2 次元の場合は複素解析の章にあります）$K(x,y)=\frac{r^2-|x|^2}{n\omega_nr|x-y|^n}$ が連続な境界値の Dirichlet 問題を解きます。

この記事で使う事前知識

• 発散: ベクトル場の各成分をその方向で微分して足した量で、湧き出しの強さを表します。→ 発散
• ストークスの定理: 領域の内部での微分の積分が、境界での積分に等しいという定理で、発散定理はその特別な場合です。→ ストークスの定理
• 畳み込み: 2 つの関数 $f,g$ から、$f$ を $g$ で重みづけして平均した新しい関数を作る積分です。→ 畳み込み
• 優収束定理: 積分される関数を上から一つの可積分関数で抑えられるとき、極限と積分の順序を交換してよいという定理です。→ ルベーグ積分の定義と収束定理
• 連続性: 点が近ければ関数の値も近い、という性質です。→ 連続性

1. 動機

ラプラス方程式 $\Delta u=\sum_{j=1}^n\partial_j^2u=0$ は、静電ポテンシャル、定常状態の温度分布、張った膜の微小なたわみなど、「時間変化が止まった後の平衡」を記述します。熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ の定常解がまさに調和関数です。平衡では、各点の値は周りの値の平均に等しくなるはずです。この直観を定理にしたのが平均値の性質で、この章のほとんどの結果はそこから出ます。

2 次元では、調和関数は正則関数の実部として 調和関数と Poisson 積分 で扱われています。この章では複素解析を使わず、一般の次元 $n\ge2$ で同じ結果を発散定理から導きます。

この記事は、テーマ「偏微分方程式」の最初の章です。テーマ全体の流れは次のとおりです。

• 古典解の理論（第 1〜3 章）: 楕円型（Laplace）、放物型（熱）、双曲型（波動）の代表的な方程式を、明示的な解の公式・最大値原理・エネルギー評価で調べます。3 つの型で、解の滑らかさや情報の伝わり方がまったく異なることを見ます。
• 弱解の理論（第 4〜5 章）: Sobolev 空間の上で、楕円型方程式の解を Hilbert 空間の方法（Lax–Milgram の定理、変分法）で作り、その解が実際には滑らかであること（正則性）を示します。
• スペクトル（第 6 章）: 有界領域の Dirichlet ラプラシアンの固有値の個数が、領域の体積だけで決まる漸近則（Weyl 則）に従うことを証明します。

古典解の章で得た明示公式は、弱解の理論で「解がどのくらい滑らかか」を測る物差しになります。

2. 準備

2.1. 記号と発散定理

以下 $n\ge2$ とし、$B(x,r)=\{y\in\mathbb{R}^n\mid|y-x|\lt r\}$、$\omega_n$ を単位球 $B(0,1)$ の体積とします。$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とし、$\bar B(x,r)\subset\Omega$ のような包含を「閉球が $\Omega$ に含まれる」と読みます。

$\Omega$ が滑らかな境界をもつ有界領域であるとは、$\Omega$ が有界な開集合で、閉包 $\bar\Omega$ が $\mathbb{R}^n$ の $C^\infty$ 級境界付き部分多様体（境界 $\partial\Omega$）であることとします。$\nu$ を外向き単位法ベクトル、$dS$ を $\partial\Omega$ の面積測度（誘導計量の体積測度）とします。球 $B(x,r)$ や円環 $B(x,R)\setminus\bar B(x,r)$ はこの条件を満たします。このとき $C^k(\bar\Omega)$ は、$\bar\Omega$ のある近傍で $C^k$ 級の関数の $\bar\Omega$ への制限の全体とします。$u\in C^1(\bar\Omega)$ の外向き法微分を $\partial_\nu u=\nabla u\cdot\nu$ と書きます。

補題 2.1（n 次元の発散定理）✓

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界領域、$X$ を $\bar\Omega$ の近傍で定義された $C^1$ 級ベクトル場とする。このとき

$$\int_\Omega\operatorname{div}X\,dx=\int_{\partial\Omega}X\cdot\nu\,dS .$$

これはベクトル解析で習う発散定理の $n$ 次元版です。証明の前半は微分形式を使ってストークスの定理に帰着させる議論で、後半は $C^1$ 級のベクトル場を、軟化子（なめらかな山形の関数との畳み込みで、関数を少しずつぼかして滑らかにする操作）で $C^\infty$ 級のもので近似します。内容を知っているなら、主張だけを受け取って次へ進んでも、以降の議論は追えます。

証明（補題 2.1）

$X$ が $C^\infty$ 級の場合。 体積形式 $\mathrm{vol}=dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ との内部積 $\omega=\iota_X\mathrm{vol}=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}X_i\,dx_1\wedge\cdots\wedge\widehat{dx_i}\wedge\cdots\wedge dx_n$ を考えます（$\widehat{\ }$ は省く因子）。$d(X_i\,dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n)=\partial_iX_i\,dx_i\wedge dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$ で、$dx_i$ を先頭から $i$ 番目に移すと符号 $(-1)^{i-1}$ が出るので、$d\omega=(\operatorname{div}X)\,\mathrm{vol}$ です。境界の点 $p$ で $X=(X\cdot\nu)\nu+X^\top$（$X^\top\in T_p\partial\Omega$）と分けると、$T_p\partial\Omega$ の $n-1$ 本のベクトル $v_1,\ldots,v_{n-1}$ に対し $\mathrm{vol}(X^\top,v_1,\ldots,v_{n-1})=0$ です（$n$ 本のベクトルが $n-1$ 次元空間に入り一次従属）。$(v_1,\ldots,v_{n-1})$ を誘導された向きの正の正規直交基底にとると $\mathrm{vol}(\nu,v_1,\ldots,v_{n-1})=1$ で、これは面積形式の値です。したがって $\omega$ の $\partial\Omega$ への引き戻しは $(X\cdot\nu)\,dS$ で、ストークスの定理（定理 6.1［ストークスの定理］、$\bar\Omega$ はコンパクト）から主張が出ます。これは同記事の 3 次元の計算を $n$ 次元でなぞったものです。

$X$ が $C^1$ 級の場合。 $X$ が定義された開集合 $U\supset\bar\Omega$ について、$\chi\in C_c^\infty(U)$ で $\bar\Omega$ の近傍で $\chi=1$ となるもの（補題 2.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］）をとり、$Y=\chi X$ を $\mathbb{R}^n$ 上のコンパクト台の $C^1$ 級ベクトル場とみます。軟化子 $\rho_\varepsilon$（補題 2.1［Schwartz 空間と緩増加超関数］）で $Y_\varepsilon=\rho_\varepsilon*Y$ とおくと $Y_\varepsilon\in C^\infty$、$\partial_iY_\varepsilon=\rho_\varepsilon*\partial_iY$ で、$Y$ と $\partial_iY$ は一様連続なので $Y_\varepsilon\to Y$、$\operatorname{div}Y_\varepsilon\to\operatorname{div}Y$ は一様収束です。$Y_\varepsilon$ に対する等式で $\varepsilon\to0$ とすれば、$\bar\Omega$ の近傍で $Y=X$ なので主張が出ます。

∎

系 2.2（Green の公式）✓

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界領域、$u,v\in C^2(\bar\Omega)$ とする。

$$\int_\Omega\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)dx=\int_{\partial\Omega}v\,\partial_\nu u\,dS,\qquad \int_\Omega\bigl(v\Delta u-u\Delta v\bigr)dx=\int_{\partial\Omega}\bigl(v\,\partial_\nu u-u\,\partial_\nu v\bigr)dS .$$

証明（系 2.2）

$X=v\nabla u$ は $C^1$ 級で $\operatorname{div}X=v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u$、$X\cdot\nu=v\,\partial_\nu u$ なので、補題 2.1 から第 1 式が出ます。第 1 式から $u,v$ を入れ替えた式を引くと第 2 式です。

∎

2.2. 球面上の積分

$\partial B(x,s)$ の面積測度は、$\partial B(0,1)$ の面積測度を相似写像 $z\mapsto x+sz$ で写して $s^{n-1}$ 倍したものです（誘導計量が $s^2$ 倍になるため）。したがって $\int_{\partial B(x,s)}f\,dS=s^{n-1}\int_{\partial B(0,1)}f(x+sz)\,dS(z)$ です。

補題 2.3（球の上の積分の半径微分）✓

$f$ を $\mathbb{R}^n$ 上の連続関数とすると、$F(r)=\int_{B(x,r)}f\,dy$ は $r\gt0$ で微分可能で $F'(r)=\int_{\partial B(x,r)}f\,dS$。したがって $\int_{B(x,r)}f\,dy=\int_0^r\Bigl(\int_{\partial B(x,s)}f\,dS\Bigr)ds$ であり、特に $\partial B(x,r)$ の面積は $n\omega_nr^{n-1}$ である。

球を半径 $s$ の球面の重なりとみなして、球の上の積分を球面の上の積分の積み重ねに直す補題です。証明では、まず $r$ を動かしたときの積分の変化を計算し、被積分関数が $\operatorname{div}(f(y)\,y)$ の形になることに気づいて、発散定理で球面の積分に書き換えます。

証明（補題 2.3）

$x=0$ としてよい。まず $f\in C^1$ とします。変数変換 $y=rz$（系 3.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）で $F(r)=r^n\int_{B(0,1)}f(rz)\,dz$ で、積分記号下で微分して

$$F'(r)=nr^{n-1}\int_{B(0,1)}f(rz)\,dz+r^n\int_{B(0,1)}z\cdot\nabla f(rz)\,dz=\frac1r\int_{B(0,r)}\bigl(nf+y\cdot\nabla f\bigr)dy .$$

右辺の被積分関数は $\operatorname{div}(f(y)\,y)$ で、$\partial B(0,r)$ 上で $y\cdot\nu=r$ なので、補題 2.1 から $F'(r)=\int_{\partial B(0,r)}f\,dS$ です。一般の連続関数 $f$ は、$\bar B(0,R+1)$ 上で $C^1$ 関数 $f_k=\rho_{1/k}*f$ によって一様近似できます。$F_k(r)=\int_0^rG_k(s)\,ds$（$G_k(s)=\int_{\partial B(0,s)}f_k\,dS$）で $F_k\to F$、$G_k\to G$ はともに $[0,R]$ 上一様なので、$F(r)=\int_0^rG(s)\,ds$ で $G$ は連続、よって $F'=G$ です。$f=1$ とすると $\frac{d}{dr}(\omega_nr^n)$ が面積を与えます。

∎

以下、球面平均と球平均を

$$M_u(x,r)=\frac1{n\omega_nr^{n-1}}\int_{\partial B(x,r)}u\,dS,\qquad A_u(x,r)=\frac1{\omega_nr^n}\int_{B(x,r)}u\,dy$$

と書きます。補題 2.3 から $A_u(x,r)=\frac{n}{r^n}\int_0^rs^{n-1}M_u(x,s)\,ds$ です。

3. 調和関数と平均値の性質

定義 3.1（調和関数・劣調和関数）↗

開集合 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 上の実数値関数 $u\in C^2(\Omega)$ が $\Delta u=0$ を満たすとき調和、$\Delta u\ge0$ を満たすとき劣調和という。

定理 3.2（平均値の性質）✓

$u\in C^2(\Omega)$、$\bar B(x,r)\subset\Omega$ とする。$u$ が調和なら

$$u(x)=M_u(x,r)=A_u(x,r)$$

であり、$u$ が劣調和なら $u(x)\le M_u(x,r)$、$u(x)\le A_u(x,r)$ である。

証明の方針は、球面平均を半径 $s$ の関数 $\varphi(s)$ とみて、$s$ で微分することです。発散定理により $\varphi'$ は球の内部での $\Delta u$ の平均に変わるので、調和なら $\varphi$ は定数で、$s\to0$ の極限である $u(x)$ に等しくなります。

証明（定理 3.2）

$\varphi(s)=M_u(x,s)=\frac1{n\omega_n}\int_{\partial B(0,1)}u(x+sz)\,dS(z)$（$0\lt s\le r$）とおきます。積分記号下で微分し、$\partial B(x,s)$ 上の外向き法線が $z=(y-x)/s$ であることと 補題 2.1 を使うと

$$\varphi'(s)=\frac1{n\omega_n}\int_{\partial B(0,1)}\nabla u(x+sz)\cdot z\,dS(z)=\frac1{n\omega_ns^{n-1}}\int_{\partial B(x,s)}\partial_\nu u\,dS=\frac1{n\omega_ns^{n-1}}\int_{B(x,s)}\Delta u\,dy=\frac sn A_{\Delta u}(x,s).$$

$u$ の連続性から $\varphi(s)\to u(x)$（$s\to0$）です。調和なら $\varphi'=0$ なので $M_u(x,r)=u(x)$、劣調和なら $\varphi'\ge0$ なので $M_u(x,r)\ge u(x)$ です。球平均の主張は、補題 2.3 の後の式 $A_u(x,r)=\frac n{r^n}\int_0^rs^{n-1}M_u(x,s)\,ds$ に代入すれば出ます（$\frac n{r^n}\int_0^rs^{n-1}ds=1$）。

∎

平均値の性質は、調和性の「積分版」の言い換えです。逆も成り立ち、しかも滑らかさが自動的についてきます。

定理 3.3（平均値の性質の逆と滑らかさ）✓

$u\in C(\Omega)$ が、$\bar B(x,r)\subset\Omega$ を満たすすべての $x,r$ について $u(x)=M_u(x,r)$ を満たすなら、$u\in C^\infty(\Omega)$ で $u$ は調和である。特に、調和関数は $C^\infty$ 級である。

証明（定理 3.3）

軟化子 $\rho_\varepsilon(y)=\varepsilon^{-n}\rho(y/\varepsilon)$ は $|y|$ だけの関数 $\tilde\rho_\varepsilon(|y|)$ で、台は $\bar B(0,\varepsilon)$ です（補題 2.1［Schwartz 空間と緩増加超関数］）。$\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega\mid\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)\gt\varepsilon\}$ 上で、補題 2.3 を $y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)u(y)$（$\bar B(x,\varepsilon)\subset\Omega$ の外では $0$ とおいた連続関数）に使うと

$$(\rho_\varepsilon*u)(x)=\int_0^\varepsilon\tilde\rho_\varepsilon(s)\Bigl(\int_{\partial B(x,s)}u\,dS\Bigr)ds=u(x)\int_0^\varepsilon\tilde\rho_\varepsilon(s)\,n\omega_ns^{n-1}ds=u(x)\int\rho_\varepsilon=u(x)$$

です。左辺は $C^\infty$ なので $u\in C^\infty(\Omega_\varepsilon)$、$\varepsilon$ は任意なので $u\in C^\infty(\Omega)$ です。すると 定理 3.2 の証明の $\varphi$ は定数なので、$A_{\Delta u}(x,s)=0$ がすべての小さな $s$ で成り立ち、$s\to0$ として $\Delta u(x)=0$ です。後半は 定理 3.2 と前半を合わせたものです。

∎

命題 3.4（調和関数の導関数の評価）✓

$u$ を $\Omega$ 上の調和関数、$\bar B(x,r)\subset\Omega$ とする。このとき

$$|u(x)|\le\frac1{\omega_nr^n}\int_{B(x,r)}|u|\,dy,\qquad|\partial_iu(x)|\le\frac nr\max_{\partial B(x,r)}|u|\quad(i=1,\ldots,n).$$

証明（命題 3.4）

第 1 式は $u(x)=A_u(x,r)$ から出ます。定理 3.3 により $\partial_iu$ も調和なので、$\partial_iu(x)=A_{\partial_iu}(x,r)$ です。補題 2.1 を $X=u\,e_i$ に使うと

$$|\partial_iu(x)|=\Bigl|\frac1{\omega_nr^n}\int_{\partial B(x,r)}u\,\nu_i\,dS\Bigr|\le\frac{n\omega_nr^{n-1}}{\omega_nr^n}\max_{\partial B(x,r)}|u|=\frac nr\max_{\partial B(x,r)}|u| .$$∎

この評価は、調和関数の $1$ 階導関数が「半径 $r$ の範囲での振幅を $r$ で割ったもの」で抑えられることを言っています。第 5 章の Schauder 評価で、この形の評価を繰り返し使います。

4. 最大値原理

定理 4.1（強最大値原理）✓

$\Omega$ を連結な開集合、$u\in C^2(\Omega)$ を劣調和関数とする。$u$ が $\Omega$ の内部の点で最大値 $\sup_\Omega u$ をとるなら、$u$ は定数である。

証明（定理 4.1）

$M=\sup_\Omega u$ とし、$S=\{x\in\Omega\mid u(x)=M\}$ とおきます。仮定から $S\ne\varnothing$、連続性から $S$ は $\Omega$ の中で閉です。$x\in S$、$\bar B(x,r)\subset\Omega$ なら 定理 3.2 により $M=u(x)\le A_u(x,r)\le M$ なので $\int_{B(x,r)}(M-u)\,dy=0$ で、被積分関数は非負連続なので $B(x,r)$ 上 $u=M$ です。よって $S$ は開集合で、$\Omega$ の連結性から $S=\Omega$ です。

∎

系 4.2（弱最大値原理）✓

$\Omega$ を有界な開集合、$u\in C^2(\Omega)\cap C(\bar\Omega)$ を劣調和とすると $\max_{\bar\Omega}u=\max_{\partial\Omega}u$。$u$ が調和なら $\min_{\bar\Omega}u=\min_{\partial\Omega}u$ も成り立つ。

証明（系 4.2）

$\bar\Omega$ はコンパクトなので最大値 $M$ がある点 $x_0$ でとられます。$x_0\in\partial\Omega$ なら終わりです。$x_0\in\Omega$ なら、$x_0$ を含む $\Omega$ の連結成分 $U$ の上で 定理 4.1 により $u=M$ です。$U$ は有界で空でない開集合なので $\mathbb{R}^n$ とは異なり、$\partial U\ne\varnothing$ で、$\partial U\subset\partial\Omega$ です（$U$ の境界点が $\Omega$ に入ると、その点を含む連結成分が $U$ と交わり $U$ に一致してしまう）。連続性から $\partial U$ 上でも $u=M$ です。最小値の主張は $-u$ に使えば出ます。

∎

系 4.3（Dirichlet 問題の一意性と安定性）✓

$\Omega$ を有界な開集合とする。$u_1,u_2\in C^2(\Omega)\cap C(\bar\Omega)$ が $\Omega$ で $-\Delta u_k=f$、$\partial\Omega$ で $u_k=g_k$ を満たすなら $\max_{\bar\Omega}|u_1-u_2|=\max_{\partial\Omega}|g_1-g_2|$。特に $g_1=g_2$ なら $u_1=u_2$ である。

証明（系 4.3）

$w=u_1-u_2$ は調和なので、系 4.2 を $w$ と $-w$ に使います。

∎

有界性は外せません。上半空間 $\{x_n\gt0\}$ では $u=x_n$ が調和で境界値は $0$ ですが、$u\ne0$ です。非有界な領域では、無限遠での増大度を制限して初めて一意性が戻ります（演習を参照）。

5. Harnack の不等式

定理 5.1（Harnack の不等式）✓

$\Omega$ を開集合、$V$ を連結な開集合で $\bar V$ がコンパクトかつ $\bar V\subset\Omega$ とする。このとき $V,\Omega$ だけで決まる定数 $C$ があって、$\Omega$ 上の非負の調和関数 $u$ はすべて

$$\sup_Vu\le C\inf_Vu$$

を満たす。

証明の方針は次のとおりです。まず、近い 2 点では値が高々 $2^n$ 倍しか違わないことを平均値の性質から示します。次に、$\bar V$ を有限個の小さな球で覆い、2 点を隣り合う球の鎖でつなぎます。鎖の長さは球の数以下なので、定数 $C$ は球の数だけで決まります。

証明（定理 5.1）

$r=\frac14\operatorname{dist}(\bar V,\mathbb{R}^n\setminus\Omega)$（$\Omega=\mathbb{R}^n$ なら $r=1$）とします。

一歩分の比較。 $z\in\bar V$、$|p-z|\lt r$ なら $B(p,r)\subset B(z,2r)$ かつ $B(z,r)\subset B(p,2r)$ で、閉球 $\bar B(z,2r)$、$\bar B(p,2r)$ は $\Omega$ に含まれます（$|p-z|+2r\lt4r$）。$u\ge0$ と 定理 3.2 から

$$u(z)=\frac1{\omega_n(2r)^n}\int_{B(z,2r)}u\ge\frac1{2^n\omega_nr^n}\int_{B(p,r)}u=2^{-n}u(p),$$

同様に $u(p)\ge2^{-n}u(z)$ です。

鎖でつなぐ。 $\bar V$ を有限個の開球 $B_i=B(z_i,r/2)$（$z_i\in\bar V$、$i=1,\ldots,N$）で覆います。$x,y\in V$ を $V$ 内の連続な道 $\gamma$ で結びます（連結な開集合は弧状連結）。$\gamma$ と交わる $B_i$ 全体を、「交わりがあれば辺で結ぶ」グラフとみると、これは連結です。そうでなければ $\gamma$ の像が、交わらない 2 つの開集合（2 つのグループの球の和）に分かれ、像の連結性に反するからです。よって $x\in B_{i_1}$、$y\in B_{i_m}$ で、隣り合う球が交わる鎖 $B_{i_1},\ldots,B_{i_m}$（$m\le N$、相異なる）がとれます。隣り合う中心は $|z_{i_k}-z_{i_{k+1}}|\lt r$ を満たすので、一歩分の比較を $m+1$ 回使って

$$u(x)\ge2^{-n}u(z_{i_1})\ge2^{-2n}u(z_{i_2})\ge\cdots\ge2^{-mn}u(z_{i_m})\ge2^{-(m+1)n}u(y)$$

です。$C=2^{(N+1)n}$ とすれば、$x,y$ は任意なので主張が出ます。

∎

Harnack の不等式は「非負の調和関数は 1 点の値で $V$ 全体の大きさが決まる」と言っています。たとえば、$u(x_0)=0$ となる点が $V$ にあれば $V$ 上 $u=0$ です（強最大値原理の別証明）。第 5 章で扱う Allegretto–Piepenbrink の定理では、Schrödinger 作用素に対するこの種の不等式が正の解の存在を支えます。

6. 基本解と Poisson 方程式

定義 6.1（ラプラス方程式の基本解）↗

$x\ne0$ に対し

$$\Phi(x)=\begin{cases}-\dfrac1{2\pi}\log|x| & (n=2),\\[2mm] \dfrac1{n(n-2)\omega_n}\,|x|^{2-n} & (n\ge3)\end{cases}$$

とおき、$\Phi$ を基本解という。

$r=|x|$ の関数 $r^a$ について $\nabla r^a=ar^{a-2}x$、$\Delta r^a=a(a+n-2)r^{a-2}$ で、$\Delta\log r=(n-2)r^{-2}$ です。$a=2-n$ または $n=2$ の対数で $0$ になるので、$\Phi$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ で調和です。また、どちらの場合も

$$\nabla\Phi(x)=-\frac{x}{n\omega_n|x|^n}$$

です（$n=2$ では $n\omega_n=2\pi$）。補題 2.3 により $\int_{B(0,R)}|\Phi|\,dx=\int_0^R|\Phi(s)|\,n\omega_ns^{n-1}ds\lt\infty$ なので、$\Phi$ は局所可積分です。定数は、次の定理で $-\Delta(\Phi*f)=f$ がちょうど成り立つように選ばれています。

基本解 Φ の動径方向のグラフ（実線: n = 3 の 1/(4π r)、破線: n = 2 の −log r/(2π)）。どちらも原点に近づくと発散する

定理 6.2（Poisson 方程式の解）✓

$f\in C_c^2(\mathbb{R}^n)$ に対し $u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy$ とおくと、$u\in C^2(\mathbb{R}^n)$ で、$\mathbb{R}^n$ 上 $-\Delta u=f$ が成り立つ。

証明の方針は、$\Delta u(x)$ を、原点のごく近くの小さな球 $B(0,\varepsilon)$ と、その外側に分けることです。外側は Green の公式で球面の項に直し、$\varepsilon\to0$ とすると $f(x)$ だけが残ります。

証明（定理 6.2）

変数を替えて $u(x)=\int\Phi(y)f(x-y)\,dy$ と書きます。$x$ が有界集合を動くとき、$\partial^\alpha_xf(x-y)$（$|\alpha|\le2$）は有界で $y$ についての台は一定の有界集合に入るので、局所可積分な $\Phi$ を掛けたものは可積分な優関数をもちます。積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を繰り返して $\partial_i\partial_ju(x)=\int\Phi(y)\,\partial_i\partial_jf(x-y)\,dy$ で、これは優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）で連続です。よって $u\in C^2$ です。

$x$ を固定し、$v(y)=f(x-y)$ とおきます。$\Delta_xf(x-y)=\Delta_yv(y)$ なので、$\varepsilon\gt0$ について

$$\Delta u(x)=\int_{B(0,\varepsilon)}\Phi\,\Delta v\,dy+\int_{B(0,R)\setminus B(0,\varepsilon)}\Phi\,\Delta v\,dy=I_\varepsilon+J_\varepsilon$$

です。ここで $R$ は $v$ の台が $B(0,R-1)$ に入るように大きくとります。$|I_\varepsilon|\le\sup|\Delta f|\int_{B(0,\varepsilon)}|\Phi|\to0$ です。$J_\varepsilon$ には円環 $U=B(0,R)\setminus\bar B(0,\varepsilon)$ で 系 2.2 の第 2 式を使います。$U$ で $\Delta\Phi=0$、外側の球面の近くで $v=0$ なので

$$J_\varepsilon=\int_{\partial B(0,\varepsilon)}\bigl(\Phi\,\partial_\nu v-v\,\partial_\nu\Phi\bigr)dS$$

で、$\nu=-y/\varepsilon$ は $U$ から見た外向き法線です。第 1 項は $|\Phi(\varepsilon)|\sup|\nabla f|\cdot n\omega_n\varepsilon^{n-1}$ 以下で、$n=2$ では $\varepsilon|\log\varepsilon|$、$n\ge3$ では $\varepsilon$ の定数倍なので $0$ に収束します。第 2 項は $\partial_\nu\Phi=\nabla\Phi(y)\cdot(-y/\varepsilon)=\frac1{n\omega_n\varepsilon^{n-1}}$ なので $-M_v(0,\varepsilon)$ に等しく、$v$ の連続性から $-v(0)=-f(x)$ に収束します。よって $\Delta u(x)=-f(x)$ です。

∎

$\Phi*f$ は「点電荷 $f(y)\,dy$ のつくるポテンシャルの重ね合わせ」です。$f$ に $C^2$ を課したのは証明を短くするためで、$f$ が Hölder 連続なら $u\in C^2$ が成り立ちます（第 5 章の Schauder 評価の主題）。一方 $f$ が連続なだけでは $u\in C^2$ は一般に成り立ちません。

7. Green 関数と Poisson 核

7.1. Green の表現公式

定理 7.1（Green の表現公式）✓

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界領域、$u\in C^2(\bar\Omega)$、$x\in\Omega$ とすると

$$u(x)=\int_{\partial\Omega}\Bigl(\Phi(y-x)\,\partial_\nu u(y)-u(y)\,\partial_{\nu_y}\Phi(y-x)\Bigr)dS(y)-\int_\Omega\Phi(y-x)\,\Delta u(y)\,dy .$$

証明（定理 7.1）

$U_\varepsilon=\Omega\setminus\bar B(x,\varepsilon)$ に 系 2.2 の第 2 式を $u$ と $\Phi(\cdot-x)$ で使います。内側の球面からの寄与は、定理 6.2 の証明と同じ計算で $\varepsilon\to0$ のとき $u(x)$ に収束し（$\Phi\,\partial_\nu u$ の項は $0$ に、$-u\,\partial_\nu\Phi$ の項は $-M_u(x,\varepsilon)$ に収束し、移項して $u(x)$）、体積積分は $\Phi$ の局所可積分性から $\int_\Omega$ に収束します。整理すると主張の式になります。

∎

この公式は、$u$ が $\Omega$ 内の $\Delta u$ と境界上の $u$、$\partial_\nu u$ で決まることを言います。しかし Dirichlet 問題では $\partial_\nu u$ は与えられていません。そこで $\Phi$ を、境界で $0$ になるように補正します。

定義 7.2（Green 関数と Poisson 核）↗

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界領域とする。各 $x\in\Omega$ について、$\varphi^x\in C^2(\bar\Omega)$ が $\Omega$ で調和、$\partial\Omega$ 上で $\varphi^x(y)=\Phi(y-x)$ を満たすとする（補正関数）。このとき

$$G(x,y)=\Phi(y-x)-\varphi^x(y)\qquad(x\in\Omega,\ y\in\bar\Omega,\ y\ne x)$$

を $\Omega$ の Green 関数、$K(x,y)=-\partial_{\nu_y}G(x,y)$（$y\in\partial\Omega$）を Poisson 核という。

補正関数は、境界値 $\Phi(\cdot-x)$ の Dirichlet 問題の解なので、系 4.3 により存在すれば一意です。一般の領域での存在は第 4・5 章の弱解と正則性の理論で示されます。ここでは存在を仮定した帰結と、明示的に作れる球の場合を扱います。

定理 7.3（Green 関数による表示）✓

定義 7.2 の状況で、$u\in C^2(\bar\Omega)$ と $x\in\Omega$ について

$$u(x)=\int_{\partial\Omega}K(x,y)\,u(y)\,dS(y)-\int_\Omega G(x,y)\,\Delta u(y)\,dy .$$

特に $u$ が調和なら $u(x)=\int_{\partial\Omega}K(x,y)u(y)\,dS(y)$ である。

証明（定理 7.3）

$\varphi^x$ は調和なので、系 2.2 の第 2 式から $\int_\Omega\varphi^x\Delta u\,dy=\int_{\partial\Omega}(\varphi^x\partial_\nu u-u\,\partial_\nu\varphi^x)\,dS$ です。これを 定理 7.1 から引くと

$$u(x)=\int_{\partial\Omega}\Bigl(G(x,y)\,\partial_\nu u-u\,\partial_{\nu_y}G(x,y)\Bigr)dS(y)-\int_\Omega G(x,y)\Delta u\,dy$$

で、$\partial\Omega$ 上 $G(x,\cdot)=0$ なので第 1 項の前半が消えます。

∎

7.2. 球の Green 関数

球の鏡像点。境界の点 y では、x からの距離と鏡像点 x̃ からの距離の比が一定 |x| になる

まず単位球 $B=B(0,1)$ を考えます。$x\in B\setminus\{0\}$ の鏡像点を $\tilde x=x/|x|^2$（$|\tilde x|\gt1$）とします。$|y|=1$ なら

$$|x|^2|y-\tilde x|^2=|x|^2-2x\cdot y+1=|x-y|^2$$

なので $|x|\,|y-\tilde x|=|x-y|$ です。$\Phi$ は $|x|$ だけの関数なので、$\varphi^x(y)=\Phi\bigl(|x|(y-\tilde x)\bigr)$ は境界で $\Phi(y-x)$ に一致します。$y\mapsto|x|(y-\tilde x)$ は相似写像で、$\bar B$ 上では $y\ne\tilde x$ なので、$\varphi^x$ は $\bar B$ の近傍で調和です（相似写像と合成するとラプラシアンは定数倍されるだけ）。$x=0$ では $\varphi^0$ を、単位球面上の $\Phi$ の値に等しい定数とします。

命題 7.4（球の Poisson 核）✓

球 $B(0,r)$ の Poisson 核は

$$K_r(x,y)=\frac{r^2-|x|^2}{n\omega_n\,r\,|x-y|^n}\qquad(|x|\lt r,\ |y|=r)$$

である。$K_r\gt0$ で、$\int_{\partial B(0,r)}K_r(x,y)\,dS(y)=1$ が成り立つ。

証明では、鏡像点で作った補正関数 $\varphi^x$ を $y$ で微分して、$G=\Phi(y-x)-\varphi^x(y)$ の法微分を実際に計算します。$|x|\,|y-\tilde x|=|x-y|$ のおかげで分母がそろい、式がきれいにまとまります。

証明（命題 7.4）

$r=1$ で計算し、一般の $r$ は相似変換 $x\mapsto x/r$ で得ます（$dS$ は $r^{n-1}$ 倍、法微分は $r^{-1}$ 倍になる）。$\nabla\Phi(z)=-z/(n\omega_n|z|^n)$ と $|x|\,|y-\tilde x|=|x-y|$ から

$$\partial_{y_i}\Phi(y-x)=-\frac{y_i-x_i}{n\omega_n|x-y|^n},\qquad\partial_{y_i}\Phi\bigl(|x|(y-\tilde x)\bigr)=-\frac{|x|^2(y_i-\tilde x_i)}{n\omega_n|x-y|^n}=-\frac{|x|^2y_i-x_i}{n\omega_n|x-y|^n}$$

です。差をとると $\partial_{y_i}G(x,y)=-\frac{y_i(1-|x|^2)}{n\omega_n|x-y|^n}$ で、$\nu=y$ との内積をとって $K(x,y)=\frac{1-|x|^2}{n\omega_n|x-y|^n}$ です。正値性は明らかです。$u\equiv1$ に 定理 7.3 を使うと $\int K(x,y)\,dS(y)=1$ が出ます。

∎

$n=2$、$r=1$ では $K(x,y)=\frac{1-|x|^2}{2\pi|x-y|^2}$ で、複素解析の Poisson 核 定義 4.1［調和関数と Poisson 積分］ と同じものです（$dS=d\theta$）。

定理 7.5（球の Dirichlet 問題）✓

$g\in C(\partial B(0,r))$ に対し

$$u(x)=\int_{\partial B(0,r)}K_r(x,y)\,g(y)\,dS(y)\quad(|x|\lt r),\qquad u(x)=g(x)\quad(|x|=r)$$

とおく。このとき $u\in C^\infty(B(0,r))\cap C(\bar B(0,r))$ で、$u$ は $B(0,r)$ で調和である。さらに、このような $u$ はただ一つである。

証明（定理 7.5）

調和性。 $y$ を固定し $w=x-y$ とおくと、積の微分と $\Delta|w|^{-n}=2n|w|^{-n-2}$（定義 6.1 の後の公式で $a=-n$）から

$$\Delta_x\bigl[(r^2-|x|^2)|x-y|^{-n}\bigr]=2n|w|^{-n-2}\bigl[(r^2-|x|^2)+2x\cdot(x-y)-|x-y|^2\bigr]=2n|w|^{-n-2}\bigl(r^2-|y|^2\bigr)=0$$

です（$|y|=r$）。$K_r$ は $\{|x|\lt r\}\times\partial B(0,r)$ 上で $x$ について $C^\infty$ で、$|x|\le\rho\lt r$ の範囲では導関数が一様に有界なので、積分記号下で何回でも微分でき、$u\in C^\infty$、$\Delta u=0$ です。

境界での連続性。 $y_0\in\partial B(0,r)$、$\varepsilon\gt0$ とし、$|y-y_0|\lt\delta$ なら $|g(y)-g(y_0)|\lt\varepsilon$ となる $\delta$ をとります。$|x-y_0|\lt\delta/2$ なら、命題 7.4 の $\int K_r=1$、$K_r\gt0$ と、$|y-y_0|\ge\delta$ のとき $|x-y|\ge\delta/2$ であることから

$$|u(x)-g(y_0)|\le\int K_r(x,y)|g(y)-g(y_0)|\,dS(y)\le\varepsilon+2\max|g|\cdot\frac{r^2-|x|^2}{n\omega_nr}\Bigl(\frac2\delta\Bigr)^nn\omega_nr^{n-1}$$

です。$x\to y_0$ で $r^2-|x|^2\to0$ なので $\limsup|u(x)-g(y_0)|\le\varepsilon$ です。境界上の点どうしの連続性は $g$ の連続性そのものです。

一意性。 系 4.3 です。

∎

平均値の性質は $x=0$ の場合です。$K_r(0,y)=\frac1{n\omega_nr^{n-1}}$ なので、Poisson の公式は $u(0)=M_u(0,r)$ を含んでいます。

8. 演習

演習 8.1易

$\mathbb{R}^n$ 上の有界な調和関数は定数であることを示せ（Liouville の定理）。

解答

$|u|\le M$ とします。任意の $x$ と $r\gt0$ で $\bar B(x,r)\subset\mathbb{R}^n$ なので、命題 3.4 から $|\partial_iu(x)|\le nM/r$ です。$r\to\infty$ として $\nabla u=0$、$\mathbb{R}^n$ は連結なので $u$ は定数です。

演習 8.2標準

$u\in C(\bar B(0,r))$ が $B(0,r)$ で非負かつ調和なら、$|x|\lt r$ で

$$\frac{r^{n-2}(r-|x|)}{(r+|x|)^{n-1}}\,u(0)\le u(x)\le\frac{r^{n-2}(r+|x|)}{(r-|x|)^{n-1}}\,u(0)$$

が成り立つことを示せ。

解答

定理 7.5 の一意性から $u$ は境界値の Poisson 積分です。$|y|=r$ では $r-|x|\le|x-y|\le r+|x|$、$r^2-|x|^2=(r-|x|)(r+|x|)$ なので

$$\frac{r-|x|}{n\omega_nr(r+|x|)^{n-1}}\le K_r(x,y)\le\frac{r+|x|}{n\omega_nr(r-|x|)^{n-1}} .$$

$u\ge0$ を掛けて積分し、平均値の性質 $\int_{\partial B(0,r)}u\,dS=n\omega_nr^{n-1}u(0)$ を使えば主張が出ます。この式は 定理 5.1 の定数を球の場合に具体化したもので、$x$ が境界に近づくと定数が発散する様子がわかります。

演習 8.3標準

$n=3$ とし、$u=\Phi*\mathbf 1_{B(0,1)}$ とする。$|x|\gt1$ で $u(x)=\frac1{3|x|}$ となることを示せ。

解答

$|x|\gt1$ を固定すると、$y\mapsto\Phi(x-y)$ は $\bar B(0,1)$ の近傍で調和です（$\Phi$ は原点の外で調和）。定理 3.2 の球平均の式から $\int_{B(0,1)}\Phi(x-y)\,dy=\omega_3\Phi(x)=\frac{4\pi}3\cdot\frac1{4\pi|x|}=\frac1{3|x|}$ です。一様な密度の球の外側のポテンシャルが、全質量を中心に集めた点のポテンシャルに等しいという Newton の定理です。

演習 8.4難

$\mathbb{R}^n_+=\{x_n\gt0\}$ とし、$u\in C^2(\mathbb{R}^n_+)\cap C(\overline{\mathbb{R}^n_+})$ が調和、境界 $\{x_n=0\}$ で $u=0$、かつ有界であるとする。$u=0$ を示せ。$u=x_n$ の例と比べ、有界性の仮定の役割を説明せよ。

解答

奇関数拡張 $\tilde u(x',x_n)=-u(x',-x_n)$（$x_n\lt0$）で $\tilde u$ を $\mathbb{R}^n$ 上の有界な連続関数に延ばします（境界で $u=0$ なので連続）。$R(x',x_n)=(x',-x_n)$ を鏡映とすると $\tilde u\circ R=-\tilde u$ です。$\{x_n\ne0\}$ では $\tilde u$ は明らかに調和なので、平面 $\{x_n=0\}$ 上の点 $x_0$ の近くで調和であることを示します。

$B=B(x_0,r)$ とし、$v$ を境界値 $\tilde u|_{\partial B}$ の Poisson 積分（定理 7.5）とします。$R$ は $B$ を保つ等長写像なので $v\circ R$ も $B$ で調和で、境界値は $\tilde u\circ R=-\tilde u$ です。一意性から $v\circ R=-v$、したがって平面上で $v=0$ です。上半球 $B^+=B\cap\{x_n\gt0\}$ で $w=v-u$ は調和、$\bar B^+$ で連続で、境界の球面部分では $v=\tilde u=u$、平らな部分では $v=u=0$ なので、$\partial B^+$ 上 $w=0$ です。系 4.2（$B^+$ は有界）を $\pm w$ に使って $B^+$ 上 $v=u=\tilde u$、下半球でも同様なので、$B$ 上 $\tilde u=v$ は調和です。

よって $\tilde u$ は $\mathbb{R}^n$ 上の有界な調和関数で、演習 8.1 により定数、平面上の値から $0$ です。

$u=x_n$ は有界でないので Liouville の定理が使えず、実際 $\tilde u=x_n$ は $\mathbb{R}^n$ 上の調和関数として定数ではありません。非有界領域の一意性には、無限遠での増大度の制限が必要です。

参考文献

• L. C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010 — Chapter 2.2（平均値の性質・最大値原理・Green 関数）。
• D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001（Classics in Mathematics 版）— Chapter 2。
• F. John, Partial Differential Equations, 4th ed., Springer, 1982 — Chapter 4。
• S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey, Harmonic Function Theory, 2nd ed., Springer, 2001 — Chapters 1–3（Harnack の不等式と Poisson 核）。
• 俣野博・神保道夫『熱・波動と微分方程式』岩波書店、2004 — ラプラス方程式の章。