球の Dirichlet 問題

定理 7.5（「ラプラス方程式と調和関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

$g\in C(\partial B(0,r))$ に対し

u(x)=\int_{\partial B(0,r)}K_r(x,y)\,g(y)\,dS(y)\quad(|x|\lt r),\qquad u(x)=g(x)\quad(|x|=r)

とおく。このとき $u\in C^\infty(B(0,r))\cap C(\bar B(0,r))$ で、 $u$ は $B(0,r)$ で調和である。さらに、このような $u$ はただ一つである。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 102 件、定義なども含めて 121 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ラプラス方程式の基本解定義 6.1・ラプラス方程式と調和関数
球の Poisson 核✓命題 7.4・ラプラス方程式と調和関数
- Green 関数による表示✓定理 7.3・ラプラス方程式と調和関数
  - Green の公式✓系 2.2・ラプラス方程式と調和関数
    n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →
  - Green の表現公式✓定理 7.1・ラプラス方程式と調和関数
    Green の公式✓系 2.2・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
    Poisson 方程式の解✓定理 6.2・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →
Dirichlet 問題の一意性と安定性✓系 4.3・ラプラス方程式と調和関数
- 弱最大値原理✓系 4.2・ラプラス方程式と調和関数
  - 強最大値原理✓定理 4.1・ラプラス方程式と調和関数
    平均値の性質✓定理 3.2・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。