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球の Poisson 核

命題 7.4（「ラプラス方程式と調和関数」§7）・ ✓公理まで証明済み

球 $B(0,r)$ の Poisson 核は

K_r(x,y)=\frac{r^2-|x|^2}{n\omega_n\,r\,|x-y|^n}\qquad(|x|\lt r,\ |y|=r)

である。 $K_r\gt0$ で、 $\int_{\partial B(0,r)}K_r(x,y)\,dS(y)=1$ が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 91 件、定義なども含めて 109 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Green 関数による表示✓定理 7.3・ラプラス方程式と調和関数
- Green の公式✓系 2.2・ラプラス方程式と調和関数
  - n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
    滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
- Green の表現公式✓定理 7.1・ラプラス方程式と調和関数
  - Green の公式✓系 2.2・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）
  - Poisson 方程式の解✓定理 6.2・ラプラス方程式と調和関数
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Green の公式✓系 2.2・ラプラス方程式と調和関数（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

球の Dirichlet 問題✓定理 7.5・ラプラス方程式と調和関数