Green の公式

系 2.2（「ラプラス方程式と調和関数」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を滑らかな境界をもつ有界領域、 $u,v\in C^2(\bar\Omega)$ とする。

\int_\Omega\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)dx=\int_{\partial\Omega}v\,\partial_\nu u\,dS,\qquad \int_\Omega\bigl(v\Delta u-u\Delta v\bigr)dx=\int_{\partial\Omega}\bigl(v\,\partial_\nu u-u\,\partial_\nu v\bigr)dS .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 87 件、定義なども含めて 105 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
- 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
    $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Poisson 方程式の解✓定理 6.2・ラプラス方程式と調和関数
Green の表現公式✓定理 7.1・ラプラス方程式と調和関数
Green 関数による表示✓定理 7.3・ラプラス方程式と調和関数
エネルギー保存✓定理 5.1・波動方程式

Green の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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